Solving a System of Three Equations with Three Unknowns
Claro, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que vamos a resolver paso a paso.
El sistema es:
1. \( x - 2y - 2z = 4 \)
2. \( 2x + 3y - z = 5 \)
3. \( 4x + y - z = 9 \)
Podemos usar el método de eliminación o el método de sustitución. Para este ejemplo, usaré el método de eliminación. Empecemos por eliminar una de las incógnitas, por ejemplo, la \(z\).
Multiplicamos la primera ecuación por -1 para poder eliminar la variable \(z\) sumándola con la segunda y la tercera ecuación.
La primera ecuación se convierte en:
\( -x + 2y + 2z = -4 \)
Ahora la sumamos con la segunda ecuación:
\( -x + 2y + 2z + 2x + 3y - z = -4 + 5 \)
\( x + 5y + z = 1 \) ... (4)
Y también la sumamos con la tercera ecuación:
\( -x + 2y + 2z + 4x + y - z = -4 + 9 \)
\( 3x + 3y + z = 5 \) ... (5)
Ahora tenemos un nuevo sistema con dos ecuaciones (4 y 5) y dos incógnitas (x y y). Vamos a eliminar \(z\) sumando las ecuaciones 4 y 5 con la segunda ecuación original por separado:
\( x + 5y + z + 4x + y - z = 1 + 9 \)
\( 5x + 6y = 10 \) ... (6)
Dividimos la ecuación (6) entre 5:
\( x + \frac{6}{5}y = 2 \) ... (7)
Ahora utilizamos las ecuaciones (4) y (5) para eliminar \(z\):
\( x + 5y + z + 3x + 3y + z = 1 + 5 \)
\( 4x + 8y + 2z = 6 \) ... (8)
Dividimos la ecuación (8) entre 2:
\( 2x + 4y + z = 3 \) ... (9)
Ahora tenemos dos ecuaciones (7 y 9) con dos incógnitas (x y y):
\( x + \frac{6}{5}y = 2 \) ... (7)
\( 2x + 4y + z = 3 \) ... (9)
Podemos resolver el sistema (7) y (9) para encontrar \(x\) y \(y\). Multiplicamos la ecuación (7) por 2 para igualar el coeficiente de \(x\):
\( 2x + \frac{12}{5}y = 4 \) ... (10)
Restamos la ecuación (10) de la ecuación (9):
\( (2x + 4y + z) - (2x + \frac{12}{5}y) = 3 - 4 \)
Como resultado, tenemos una nueva ecuación con solo la variable \(y\):
\( 4y - \frac{12}{5}y + z = -1 \)
Para simplificar los términos de \(y\), encontramos un denominador común que es 5:
\( \frac{20}{5}y - \frac{12}{5}y + z = -1 \)
\( \frac{8}{5}y + z = -1 \) ... (11)
Ahora expresamos \(z\) en función de \(y\) de la ecuación (11):
\( z = -1 - \frac{8}{5}y \) ... (12)
Volvemos a la ecuación (7) para despejar \(x\), sabiendo que \(y\) aún no está determinado:
\( x = 2 - \frac{6}{5}y \) ... (13)
Ahora tenemos \(x\) y \(z\) expresados en función de \(y\) (ecuaciones 12 y 13). Para encontrar el valor de \(y\), podemos sustituir el valor de \(z\) (de la ecuación 12) en cualquiera de las ecuaciones originales que contenían todas las variables. Usemos la ecuación (2) para esto:
\( 2x + 3y - z = 5 \)
Sustituimos \(x\) (de la ecuación 13) y \(z\) (de la ecuación 12):
\( 2(2 - \frac{6}{5}y) + 3y - (-1 - \frac{8}{5}y) = 5 \)
Simplificamos:
\( 4 - \frac{12}{5}y + 3y + 1 + \frac{8}{5}y = 5 \)
Combinamos términos semejantes:
\( 5 - \frac{12}{5}y + \frac{15}{5}y + \frac{8}{5}y = 5 \)
\( 5 + \frac{11}{5}y = 5 \)
Ahora restamos 5 de ambos lados de la ecuación:
\( \frac{11}{5}y = 0 \)
Dado que todo número multiplicado por 0 da 0, obtenemos que \(y = 0\). Ahora que sabemos el valor de \(y\), podemos sustituirlo en las ecuaciones (12) y (13) para encontrar \(z\) y \(x\), respectivamente.
De la ecuación (13):
\( x = 2 - \frac{6}{5}(0) \)
\( x = 2 \)
De la ecuación (12):
\( z = -1 - \frac{8}{5}(0) \)
\( z = -1 \)
El conjunto de soluciones al sistema de ecuaciones es \(x = 2\), \(y = 0\), \(z = -1\).
