Example Question - separation of variables
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a First-Order Linear Differential Equation
La ecuación diferencial dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x \cdot sen(x)\). Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Las condiciones para resolver este tipo de ecuaciones son que se pueda expresar en la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas. <p>En este caso, tenemos \(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x \cdot sen(x)\), ambas funciones continuas, así que podemos aplicar el método del factor integrante.</p> <p>El factor integrante es \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int -1dx} = e^{-x}\).</p> <p>Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante:</p> \[ e^{-x} \left( \frac{dy}{dx} - y \right) = x e^{-x} sen(x) \] <p>Esto nos deja con:</p> \[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) = x e^{-x} sen(x) \] <p>Integramos ambos lados con respecto a x:</p> \[ \int \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) dx = \int x e^{-x} sen(x) dx \] <p>Utilizando la integración por partes en el lado derecho, donde sea \(u = x\) y \(dv = e^{-x} sen(x)dx\), obtenemos:</p> \[ e^{-x}y = -(xe^{-x}sen(x) - \int -e^{-x}sen(x)dx) + C \] <p>El integral del lado derecho, \( \int e^{-x}sen(x)dx \), se resuelve de nuevo por partes o utilizando métodos tabulares, lo que resulta en una expresión que involucra términos de \( e^{-x}sen(x) \) y \( e^{-x}cos(x) \), más una constante de integración.</p> <p>Finalmente, se despeja \( y \) dividiendo todo por \( e^{-x} \) para obtener la solución general de la ecuación diferencial:</p> \[ y = -x sen(x) + (\int e^{-x}sen(x)dx) e^{x} + Ce^{x} \] <p>La integral restante se soluciona como se mencionó anteriormente para obtener la forma explícita de la solución.</p>
Differential Equation with Existence and Uniqueness Theorem Condition
La ecuación diferencial proporcionada es una ecuación de variables separables. Se procede a resolverla de la siguiente manera: \[ \frac{dP}{dt} = k(P_1 - P) \] Primero, separamos las variables \(P\) y \(t\) en lados opuestos de la ecuación: \[ \frac{dP}{P_1 - P} = k \, dt \] Ahora, integramos ambos lados para obtener: \[ \int \frac{dP}{P_1 - P} = \int k \, dt \] Usamos la sustitución de variables \(u = P_1 - P\), entonces \(du = -dP\), y reescribimos la integral del lado izquierdo para que quede: \[ -\int \frac{du}{u} = kt + C \] Al integrar obtenemos: \[ -\ln |u| = kt + C \] Volviendo a las variables originales: \[ -\ln |P_1 - P| = kt + C \] Exponenciando ambos lados para despejar \(P\): \[ |P_1 - P| = e^{-kt}e^C \] Definimos una nueva constante \(C' = e^C\), y dado que el valor absoluto puede ser positivo o negativo, escribimos: \[ P_1 - P = \pm C'e^{-kt} \] Si consideramos \(P_1 - P\) positivo, obtenemos: \[ P = P_1 - C'e^{-kt} \] La constante \(C'\) se determinará por una condición inicial de la forma \(P(t_0) = P_0\). En cuanto al punto \((x,y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no puede garantizarse, podemos decir que esto ocurrirá en un punto donde la función no sea continua o no se cumplan las condiciones de Lipschitz. En la ecuación dada, un punto problemático sería \((P_1, t)\), para cualquier valor de \(t\), ya que \(P_1 - P\) se anularía, y la primera derivada no estaría definida. Esto violaría las condiciones necesarias para aplicar el teorema de existencia y unicidad en dicho punto.
Solving a Differential Equation with Separation of Variables
\[ \begin{align*} &\text{Sea la ecuación diferencial dada por } \frac{1}{P(1-P)} dP = dt.\\ &\text{Separamos variables e integramos ambos lados:} \\ &\int \frac{1}{P(1-P)} dP = \int dt.\\ &\text{Para resolver la integral del lado izquierdo, realizamos una descomposición en fracciones parciales:} \\ &\frac{1}{P(1-P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1-P}, \text{ donde se puede encontrar que } A = 1, B = 1.\\ &\text{Entonces:} \\ &\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = \int dt. \\ &\text{Integrando:} \\ &\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C, \text{ donde } C \text{ es la constante de integración.} \\ &\text{Reescribimos la solución como:} \\ &\ln \left| \frac{P}{1 - P} \right| = t + C. \\ &\text{Exponenciando ambos lados para resolver para } P: \\ &e^{\ln \left| \frac{P}{1 - P} \right|} = e^{t + C}. \\ &\text{Simplificamos:} \\ &\left| \frac{P}{1 - P} \right| = e^C \cdot e^t, \\ &\text{donde } e^C \text{ puede considerarse como una nueva constante } K.\\ &\text{Por lo tanto, tenemos:} \\ &\frac{P}{1 - P} = \pm K e^t. \\ &\text{Si resolvemos para } P \text{ obtenemos:} \\ &P = \frac{\pm K e^t}{1 \pm K e^t}, \text{ que es la solución general de la ecuación diferencial.} \end{align*} \]
Solution to a Differential Equation
题目给出了一个初值问题，微分方程为 \(\frac{dy}{dx} = y - 2\)，初始条件为 \(y(2) = 3\)。让我们解这个微分方程。 分离变量得到： \[\frac{1}{y-2}dy = dx\] 对两边积分，得到： \[\int\frac{1}{y-2}dy = \int dx\] 得到： \[ln|y-2| = x + C\] 由于 \(ln|y-2|\) 对应的是 \(y-2\) 的绝对值，因此我们需要考虑 \(y-2\) 为正或者为负的情况。但是，由于初始条件 \(y(2) = 3\)，我们可以知道 \(y-2\) 应该是正的。 所以我们现在有： \[ln(y-2) = x + C\] 为了解出常数 \(C\)，我们使用初始条件 \(y(2) = 3\)： \[ln(3-2) = 2 + C\] \[ln(1) = C\] 由于 \(ln(1) = 0\)，我们有 \(C = 0\)。 因此，解为： \[ln(y-2) = x\] 解出 \(y\) 得： \[y-2 = e^x\] \[y = e^x + 2\] 所以正确答案是 (A) \(y = e^x + 2\)。
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