Example Question - exact differential
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Differential Equations and Integrating Factors
<p> La ecuación diferencial dada es: </p> <p> \( (x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + y dy = 0 \) </p> <p> Intentamos reescribirla en una forma exacta multiplicando ambos lados por un factor integrante. Sea \( \mu(x,y) \) un factor integrante que buscamos, entonces multiplicamos la ecuación por \( \mu \) y buscamos condiciones para que sea exacta: </p> <p> \( \mu(x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + \mu y dy = 0 \) </p> <p> La condición para que una ecuación diferencial \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) sea exacta es que: </p> <p> \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \) </p> <p> Si consideramos \( \mu(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \), entonces multiplicamos la ecuación original por \( \mu \), obtenemos: </p> <p> \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}dy = 0 \), </p> <p> que es lo mismo que: </p> <p> \( d(\sqrt{x^2 + y^2}) = 0 \) </p> <p> Al integrar ambos lados con respecto a x, obtenemos: </p> <p> \( \sqrt{x^2 + y^2} = C \), </p> <p> donde \( C \) es una constante de integración. </p> <p> Esto demuestra que si se elige el factor integrante adecuado, la ecuación diferencial original, que no es exacta, puede convertirse en una ecuación exacta y, por lo tanto, puede ser resuelta. </p>
Solving a First-Order Linear Differential Equation
La ecuación diferencial dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x \cdot sen(x)\). Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Las condiciones para resolver este tipo de ecuaciones son que se pueda expresar en la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas. <p>En este caso, tenemos \(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x \cdot sen(x)\), ambas funciones continuas, así que podemos aplicar el método del factor integrante.</p> <p>El factor integrante es \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int -1dx} = e^{-x}\).</p> <p>Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante:</p> \[ e^{-x} \left( \frac{dy}{dx} - y \right) = x e^{-x} sen(x) \] <p>Esto nos deja con:</p> \[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) = x e^{-x} sen(x) \] <p>Integramos ambos lados con respecto a x:</p> \[ \int \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) dx = \int x e^{-x} sen(x) dx \] <p>Utilizando la integración por partes en el lado derecho, donde sea \(u = x\) y \(dv = e^{-x} sen(x)dx\), obtenemos:</p> \[ e^{-x}y = -(xe^{-x}sen(x) - \int -e^{-x}sen(x)dx) + C \] <p>El integral del lado derecho, \( \int e^{-x}sen(x)dx \), se resuelve de nuevo por partes o utilizando métodos tabulares, lo que resulta en una expresión que involucra términos de \( e^{-x}sen(x) \) y \( e^{-x}cos(x) \), más una constante de integración.</p> <p>Finalmente, se despeja \( y \) dividiendo todo por \( e^{-x} \) para obtener la solución general de la ecuación diferencial:</p> \[ y = -x sen(x) + (\int e^{-x}sen(x)dx) e^{x} + Ce^{x} \] <p>La integral restante se soluciona como se mencionó anteriormente para obtener la forma explícita de la solución.</p>
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