Example Question - first order linear differential equation
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Solving a First-Order Linear Differential Equation
La ecuación diferencial dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x \cdot sen(x)\). Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Las condiciones para resolver este tipo de ecuaciones son que se pueda expresar en la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas. <p>En este caso, tenemos \(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x \cdot sen(x)\), ambas funciones continuas, así que podemos aplicar el método del factor integrante.</p> <p>El factor integrante es \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int -1dx} = e^{-x}\).</p> <p>Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante:</p> \[ e^{-x} \left( \frac{dy}{dx} - y \right) = x e^{-x} sen(x) \] <p>Esto nos deja con:</p> \[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) = x e^{-x} sen(x) \] <p>Integramos ambos lados con respecto a x:</p> \[ \int \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) dx = \int x e^{-x} sen(x) dx \] <p>Utilizando la integración por partes en el lado derecho, donde sea \(u = x\) y \(dv = e^{-x} sen(x)dx\), obtenemos:</p> \[ e^{-x}y = -(xe^{-x}sen(x) - \int -e^{-x}sen(x)dx) + C \] <p>El integral del lado derecho, \( \int e^{-x}sen(x)dx \), se resuelve de nuevo por partes o utilizando métodos tabulares, lo que resulta en una expresión que involucra términos de \( e^{-x}sen(x) \) y \( e^{-x}cos(x) \), más una constante de integración.</p> <p>Finalmente, se despeja \( y \) dividiendo todo por \( e^{-x} \) para obtener la solución general de la ecuación diferencial:</p> \[ y = -x sen(x) + (\int e^{-x}sen(x)dx) e^{x} + Ce^{x} \] <p>La integral restante se soluciona como se mencionó anteriormente para obtener la forma explícita de la solución.</p>
Solving First Order Linear Differential Equations
<p>Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son que la ecuación diferencial pueda ser escrita en la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \), donde \( P(x) \) y \( Q(x) \) son funciones continuas en algún intervalo.</p> <p>La ecuación diferencial dada es \( \frac{dy}{dx} = y - x^2 \sin(x) \).</p> <p>Reescribimos la ecuación para expresarla en la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden:</p> <p>\( \frac{dy}{dx} - y = - x^2 \sin(x) \)</p> <p>Donde se puede ver que \( P(x) = -1 \) y \( Q(x) = - x^2 \sin(x) \), y ambos son continuos para todos los valores reales de \( x \), por lo que se cumplen las condiciones.</p> <p>El factor integrante es \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int -1dx} = e^{-x} \).</p> <p>Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el factor integrante:</p> <p>\( e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = - x^2 e^{-x} \sin(x) \)</p> <p>Transformamos el lado izquierdo en la derivada del producto de dos funciones, lo cual es posible porque es la ecuación diferencial de una función lineal de orden uno después de ser multiplicada por el factor integrante:</p> <p>\( \frac{d}{dx}(ye^{-x}) = - x^2 e^{-x} \sin(x) \)</p> <p>Integramos ambos lados respecto a \( x \):</p> <p>\( ye^{-x} = - \int x^2 e^{-x} \sin(x) dx \)</p> <p>La integral del lado derecho no es trivial y generalmente requiere de técnicas avanzadas de integración, como la integración por partes o el uso de series de potencias. Dado que el objetivo es proporcionar los pasos sin una explicación detallada, vamos a denotar la integral como \( I \) y continuar:</p> <p>\( ye^{-x} = I + C \), donde \( C \) es la constante de integración.</p> <p>Finalmente, despejamos \( y \) para obtener la solución general:</p> <p>\( y = e^{x}(I + C) \)</p> <p>Para encontrar la expresión explícita de \( I \), se necesitarían técnicas adicionales que no están dentro del alcance de esta solución.</p>
Solving a First-Order Linear Differential Equation
<p>Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son que se puedan expresar en la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \).</p> <p>La ecuación \( \frac{dy}{dx} = y - x^2 \sin x \) puede reescribirse como \( \frac{dy}{dx} - y = -x^2 \sin x \) para ponerla en la forma estándar.</p> <p>Tenemos \( P(x) = -1 \) y \( Q(x) = -x^2 \sin x \).</p> <p>Calculamos el factor integrante \( \mu(x) \), el cual es dado por \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{-\int dx} = e^{-x} \).</p> <p>Multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial por \( \mu(x) \):</p> <p>\( e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = -x^2 e^{-x} \sin x \).</p> <p>La izquierda de la ecuación ahora es la derivada de \( y \cdot \mu(x) \), o sea:</p> <p>\( \frac{d}{dx}(y e^{-x}) = -x^2 e^{-x} \sin x \).</p> <p>Integramos ambos lados en cuanto a \( x \) para obtener \( y \):</p> <p>\( y e^{-x} = \int -x^2 e^{-x} \sin x \, dx \).</p> <p>Esta integral es complicada y a menudo requiere la integración por partes o el uso de una tabla de integrales. Sin embargo, el propósito aquí es explicar el método, no realizar la integración compleja. Suponiendo que hagamos esta integral, denotamos la antiderivada como \( I(x) \).</p> <p>Entonces:</p> <p>\( y e^{-x} = I(x) + C \), donde \( C \) es la constante de integración.</p> <p>Resolvemos para \( y \):</p> <p>\( y = e^{x}(I(x) + C) \).</p> <p>Donde \( I(x) \) es la integral de \( -x^2 e^{-x} \sin x \) con respecto a \( x \) y \( C \) es la constante de integración.</p>
Solving a First-Order Linear Differential Equation
Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son que la ecuación pueda escribirse en la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas de \(x\) en algún intervalo. La ecuación dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x^2 \sin x\). Se puede reescribir en la forma deseada identificando: <p>\(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x^2 \sin x\)</p> Como \(P(x)\) y \(Q(x)\) son continuas en todo \(\mathbb{R}\), las condiciones se satisfacen. Para resolver la ecuación, primero encontramos el factor integrante \(\mu(x)\) tal que \(\mu(x) = e^{\int P(x)dx}\). <p>\(\mu(x) = e^{\int -1 dx} = e^{-x}\)</p> Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(\mu(x)\) para obtener: <p>\(e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = x^2e^{-x}\sin x\)</p> La izquierda es ahora la derivada del producto de \(e^{-x}\) y \(y\): <p>\(\frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x^2e^{-x}\sin x\)</p> Integramos ambos lados con respecto a \(x\): <p>\(\int \frac{d}{dx}(e^{-x}y) dx = \int x^2e^{-x}\sin x dx\)</p> <p>\(e^{-x}y = \int x^2e^{-x}\sin x dx + C\)</p> Donde \(C\) es la constante de integración. La integral del lado derecho no se puede expresar en términos de funciones elementales, por lo que se puede dejar en su forma integral o buscar una solución numérica o en serie, según sea necesario. Para encontrar la solución exacta, necesitaríamos métodos más avanzados como la integración por partes múltiples o la transformada de Laplace, que están fuera del alcance de este problema.
Solution to a First Order Linear Differential Equation
<p>Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tienen la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas en un intervalo dado. Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se utiliza un factor integrante, \(\mu(x)\), definido por \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\).</p> <p>La ecuación dada es:</p> <p>\[x\frac{dy}{dx} - y = x^3 \sin x\]</p> <p>Primero reescribimos la ecuación en la forma estándar dividiendo todo por \(x\) (dado que \(x \neq 0\)):</p> <p>\[\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^2 \sin x\]</p> <p>Identificamos \(P(x) = -\frac{1}{x}\) y \(Q(x) = x^2 \sin x\).</p> <p>Calculamos el factor integrante:</p> <p>\[\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}\]</p> <p>Para mantener el contexto de la ecuación, podemos usar \(\mu(x) = \frac{1}{x}\) asumiendo que \(x > 0\).</p> <p>Multiplicamos ambos lados de la ecuación estándar por \(\mu(x)\):</p> <p>\[\frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = \sin x\]</p> <p>Reescribimos el lado izquierdo como una derivada de un producto:</p> <p>\[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) = \sin x\]</p> <p>Integramos ambos lados con respecto a \(x\):</p> <p>\[\int \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) dx = \int \sin x dx\]</p> <p>\[\frac{1}{x} y = -\cos x + C\]</p> <p>Despejamos para \(y\):</p> <p>\[y = -x \cos x + Cx\]</p> <p>Donde \(C\) es la constante de integración.</p>
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