Example Question - solution method
Here are examples of questions we've helped users solve.
Differential Equations and Intelligent Solutions
<p>Primero verificamos si la ecuación dada \((x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + y dy = 0\) es exacta calculando las derivadas parciales de \(M(x, y) = x - \sqrt{x^2 + y^2}\) y \(N(x, y) = y\) respecto a \(y\) y \(x\) respectivamente.</p> <p>\(\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)</p> <p>\(\frac{\partial N}{\partial x} = 0\)</p> <p>Dado que \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación no es exacta.</p> <p>Se propone reacomodar la ecuación dada como \((d(x + y)/\sqrt{x^2 + y^2}) dx = dy\), lo que implica que podemos multiplicar ambos lados de la ecuación original por un factor integrante \(\mu = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) para hacerla exacta:</p> <p>\(\mu(x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + \mu y dy = 0\)</p> <p>\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}(x dx - (x^2 + y^2)^\frac{1}{2} dx) + \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} y dy = 0\)</p> <p>Reorganizando términos obtenemos:</p> <p>\(d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}dy = \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}} + d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) - \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)</p> <p>Cancelemos \(\frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) en ambos lados y nos queda:</p> <p>\(d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = 0\)</p> <p>Integrando ambos lados con respecto a \(x\) y a \(y\) respectivamente, encontramos que:</p> <p>\(\int d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + \int d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = C\)</p> <p>Esto implica que la función:</p> <p>\(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = C\)</p> <p>es una solución a la ecuación diferencial dada, donde \(C\) es una constante de integración.</p>
Differential Equations and Integrating Factors
<p> La ecuación diferencial dada es: </p> <p> \( (x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + y dy = 0 \) </p> <p> Intentamos reescribirla en una forma exacta multiplicando ambos lados por un factor integrante. Sea \( \mu(x,y) \) un factor integrante que buscamos, entonces multiplicamos la ecuación por \( \mu \) y buscamos condiciones para que sea exacta: </p> <p> \( \mu(x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + \mu y dy = 0 \) </p> <p> La condición para que una ecuación diferencial \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) sea exacta es que: </p> <p> \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \) </p> <p> Si consideramos \( \mu(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \), entonces multiplicamos la ecuación original por \( \mu \), obtenemos: </p> <p> \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}dy = 0 \), </p> <p> que es lo mismo que: </p> <p> \( d(\sqrt{x^2 + y^2}) = 0 \) </p> <p> Al integrar ambos lados con respecto a x, obtenemos: </p> <p> \( \sqrt{x^2 + y^2} = C \), </p> <p> donde \( C \) es una constante de integración. </p> <p> Esto demuestra que si se elige el factor integrante adecuado, la ecuación diferencial original, que no es exacta, puede convertirse en una ecuación exacta y, por lo tanto, puede ser resuelta. </p>
Solving a First-Order Linear Differential Equation
Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son que la ecuación pueda escribirse en la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas de \(x\) en algún intervalo. La ecuación dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x^2 \sin x\). Se puede reescribir en la forma deseada identificando: <p>\(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x^2 \sin x\)</p> Como \(P(x)\) y \(Q(x)\) son continuas en todo \(\mathbb{R}\), las condiciones se satisfacen. Para resolver la ecuación, primero encontramos el factor integrante \(\mu(x)\) tal que \(\mu(x) = e^{\int P(x)dx}\). <p>\(\mu(x) = e^{\int -1 dx} = e^{-x}\)</p> Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(\mu(x)\) para obtener: <p>\(e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = x^2e^{-x}\sin x\)</p> La izquierda es ahora la derivada del producto de \(e^{-x}\) y \(y\): <p>\(\frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x^2e^{-x}\sin x\)</p> Integramos ambos lados con respecto a \(x\): <p>\(\int \frac{d}{dx}(e^{-x}y) dx = \int x^2e^{-x}\sin x dx\)</p> <p>\(e^{-x}y = \int x^2e^{-x}\sin x dx + C\)</p> Donde \(C\) es la constante de integración. La integral del lado derecho no se puede expresar en términos de funciones elementales, por lo que se puede dejar en su forma integral o buscar una solución numérica o en serie, según sea necesario. Para encontrar la solución exacta, necesitaríamos métodos más avanzados como la integración por partes múltiples o la transformada de Laplace, que están fuera del alcance de este problema.
Proportional Equation Solution Method
Đây là một câu hỏi giải phương trình tỉ lệ thức. Ta có tỉ lệ thức sau: \( \frac{b}{x} = \frac{6}{3} = \frac{2}{1} \) Để giải phương trình tỉ lệ thức, ta sẽ làm như sau: 1. Đầu tiên, ta sẽ sử dụng tính chất của tỉ lệ thức: hai tỉ số bằng nhau thì tích của các số hạng ngoài bằng tích của các số hạng trong. Cụ thể ta sẽ có: \( b \cdot 3 = x \cdot 2 \) 2. Triển khai phương trình: \( 3b = 2x \) 3. Bây giờ, ta chia cả hai vế cho 2 để tìm x: \( x = \frac{3b}{2} \) Vậy giá trị của x được biểu diễn qua b là \( \frac{3b}{2} \).
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