Question - Optimizing Expression to Find Minimum Value
Solution:
Đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để biến đổi biểu thức $$ P = \frac{x^3 - 2x^2 + 2025}{x^2} $$.Tách $$ 2025 $$ ra thành $$ 2025 = 45^2 $$, đồng thời nhóm $$ x^3 - 2x^2 $$ lại với nhau để tạo thành một bình phương của một biểu thức tổng quát. Ta có $$ x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) $$. Để hoàn thành bình phương, ta cần tìm một số $$ a $$ sao cho $$ (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 $$ gần giống với biểu thức hiện tại. Ở đây, ta có $$ a = 1 $$, vì $$ -2x^2 $$ gợi ý về hệ số gấp đôi của $$ x $$ khi bình phương.Biến đổi biểu thức $$ P $$ như sau:$$P = \frac{x^2(x - 2) + 2025}{x^2} = \frac{x^2(x - 2) + 45^2}{x^2} = \frac{(x^2 - 2\cdot x \cdot 1 + 1) + (45^2 - 1)}{x^2} = \frac{(x - 1)^2 + 2024}{x^2}$$Bây giờ, biểu thức $$ P $$ có dạng $$ \frac{(x - 1)^2}{x^2} + \frac{2024}{x^2} $$.Xét hàm số $$ f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2} $$, hàm số này đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi $$ x = 1 $$ (vì đây là tổng của các bình phương, nên không thể nhỏ hơn 0). Hơn nữa, ta cũng thấy rằng hàm số $$ \frac{2024}{x^2} $$ cũng đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi $$ x \rightarrow \infty $$.Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của $$ P $$ sẽ là khi các phần tử đều đạt giá trị nhỏ nhất, đó là:$$P_{min} = 0 + 0 = 0$$Nhưng cần nhớ rằng $$ x $$ phải khác 0 (vì nó nằm ở mẫu số). Do đó, giá trị nhỏ nhất của $$ P $$ mà đề bài yêu cầu là $$ P_{min} = 0 $$ với $$ x \neq 0 $$.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com