CamTutor

Example Question - minimum value

Here are examples of questions we've helped users solve.

Optimizing Expression to Find Minimum Value

Đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để biến đổi biểu thức \( P = \frac{x^3 - 2x^2 + 2025}{x^2} \). Tách \( 2025 \) ra thành \( 2025 = 45^2 \), đồng thời nhóm \( x^3 - 2x^2 \) lại với nhau để tạo thành một bình phương của một biểu thức tổng quát. Ta có \( x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) \). Để hoàn thành bình phương, ta cần tìm một số \( a \) sao cho \( (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \) gần giống với biểu thức hiện tại. Ở đây, ta có \( a = 1 \), vì \( -2x^2 \) gợi ý về hệ số gấp đôi của \( x \) khi bình phương. Biến đổi biểu thức \( P \) như sau: \[ P = \frac{x^2(x - 2) + 2025}{x^2} = \frac{x^2(x - 2) + 45^2}{x^2} = \frac{(x^2 - 2\cdot x \cdot 1 + 1) + (45^2 - 1)}{x^2} = \frac{(x - 1)^2 + 2024}{x^2} \] Bây giờ, biểu thức \( P \) có dạng \( \frac{(x - 1)^2}{x^2} + \frac{2024}{x^2} \). Xét hàm số \( f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2} \), hàm số này đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \( x = 1 \) (vì đây là tổng của các bình phương, nên không thể nhỏ hơn 0). Hơn nữa, ta cũng thấy rằng hàm số \( \frac{2024}{x^2} \) cũng đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \( x \rightarrow \infty \). Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) sẽ là khi các phần tử đều đạt giá trị nhỏ nhất, đó là: \[ P_{min} = 0 + 0 = 0 \] Nhưng cần nhớ rằng \( x \) phải khác 0 (vì nó nằm ở mẫu số). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) mà đề bài yêu cầu là \( P_{min} = 0 \) với \( x \neq 0 \).

Finding Minimum Value of a Quadratic Expression

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{x^4 - 2kx^2 + 2025}{x^2} \) với \(x \neq 0\), ta có thể thực hiện các bước sau: 1. Chia cả tử số và mẫu số của phân số cho \(x^2\), ta được: \[ P = \frac{x^4}{x^2} - 2k\frac{x^2}{x^2} + \frac{2025}{x^2} \] \[ P = x^2 - 2k + \frac{2025}{x^2} \] 2. Thêm và trừ \(k^2\) để viết biểu thức dưới dạng bình phương của một biểu thức hoàn chỉnh: \[ P = x^2 - 2k + k^2 + \frac{2025}{x^2} - k^2 \] \[ P = (x^2 - k)^2 + \frac{2025}{x^2} - k^2 \] 3. Đặt \( t = x^2 \) (đây là phép đặt ẩn phụ, lưu ý rằng \( t > 0 \) vì \( x \neq 0 \) và \( t \) là bình phương của \( x \)), ta có: \[ P = (t - k)^2 + \frac{2025}{t} - k^2 \] \[ P = t^2 - 2kt + k^2 + \frac{2025}{t} - k^2 \] \[ P = t^2 - 2kt + \frac{2025}{t} \] 4. Biểu thức \( P \) trên có thể được viết lại dưới dạng tổng của một bình phương và một nghịch đảo của \( t \). Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân) để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): \[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{2025}{t}} \] \[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2\sqrt{2025} \] \[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2 \cdot 45 \] \[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 90 \] 5. Như vậy, ta có: \[ P = t^2 - 2kt + \frac{2025}{t} \geq 90 - 2kt \] Nhớ rằng \( t = x^2 \), giá trị nhỏ nhất của \( P \) sẽ đạt được khi cả \( t^2 \) và \( \frac{2025}{t} \) cùng đạt giá trị nhỏ nhất trong bất đẳng thức AM-GM, tức là khi chúng bằng nhau: \[ t^2 = \frac{2025}{t} \] \[ t^3 = 2025 \] \[ t = \sqrt[3]{2025} \] \[ t = 13 \text{ (vì 13*13*13 = 2197, giá trị gần nhất và nhỏ hơn 2025)} \] Và khi \( t = 13 \), tức \( x^2 = 13 \), ta có \( P \geq 90 - 2k(13) \). Để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất thì \( k \) phải bằng 0. Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là: \[ P_{\text{min}} = 90 - 2k(13) = 90 \] Khi \( k = 0 \) và \( x^2 = 13 \).

Optimizing Expression with Cauchy-Schwarz Inequality

Vấn đề của bạn là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{x^3 - 2lx + 2025}{x^2} \) với \( x \neq 0 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, chúng ta cần tiến hành phép chia đa thức: Đầu tiên, tách 2025 thành 2lx và một số còn lại để thực hiện phép chia: 2025 = 2lk + m, với l là giá trị mà chúng ta sẽ tìm, k là giá trị cố định (vì 2l là hệ số của x), và m là số dư còn lại. Bây giờ, chúng ta có thể viết lại biểu thức P như sau: \[ P = x - \frac{2l}{x} + \frac{m}{x^2} \] Chúng ta cần phải tối ưu hóa biểu thức này để tìm giá trị nhỏ nhất. Để làm điều đó, chúng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, một công cụ mạnh để xử lý các vấn đề tối ưu hóa trong toán học: Bất đẳng thức này có thể được viết là: \[ (\frac{2l}{x} + \frac{\sqrt{m}}{x})^2 \leq (1+1)(\frac{4l^2}{x^2}+\frac{m}{x^2}) \] \[ 4l^2 + 4l\sqrt{m} + m \leq \frac{4l^2}{x^2} + \frac{2m}{x^2} + 2 \] Chúng ta muốn tìm giá trị nhỏ nhất của P, tức là: \[ x - \frac{2l}{x} + \frac{m}{x^2} \geq x - \sqrt{4l^2 + 4l\sqrt{m} + m} \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của P chính là: \[ x - \sqrt{4l^2 + 4l\sqrt{m} + m} \] Để thực hiện tiếp, chúng ta cần thông tin cụ thể về l và m mà không được cung cấp trong câu hỏi. Nếu bạn cung cấp thông tin chi tiết hơn, tôi có thể giúp bạn hoàn thành bài toán.

Identifying a Parabola with Specific Characteristics

The question in the image asks which equation represents a parabola that opens upward, has a minimum value of 3, and has an axis of symmetry at \( x = -3 \). Parabolas that open upward have a positive coefficient in front of the \( x^2 \) term. A minimum value is represented by the vertex of the parabola, and in the vertex form of a parabola, \( y = a(x - h)^2 + k \), where the vertex is at the point \( (h, k) \), \( k \) will be the minimum value when the parabola opens upward. The axis of symmetry is at \( x = h \). Looking at the options given: A. \( f(x) = (x - (-3))^2 + 3 \) B. \( f(x) = -(x - (-3))^2 + 6 \) C. \( f(x) = (x - 3)^2 + 6 \) D. \( f(x) = (x - 3)^2 + 3 \) Option A, \( f(x) = (x - (-3))^2 + 3 \), simplifies to \( f(x) = (x + 3)^2 + 3 \), which has the correct axis of symmetry at \( x = -3 \) and a minimum value of 3. The coefficient in front of \( (x + 3)^2 \) is positive, indicating that the parabola opens upward. Options B, C, and D either do not have the correct axis of symmetry, or they have a negative leading coefficient (which would mean the parabola opens downward), or they don't have the correct minimum value. Therefore, the correct option is A. \( f(x) = (x + 3)^2 + 3 \).

Equation of a Parabola with Specific Characteristics

The question asks for the equation of a parabola that opens upwards, has a minimum value of 3, and an axis of symmetry at x=3. The general form of a parabola that opens upwards with a vertex at (h, k) is given by: f(x) = a(x - h)² + k where "h" is the x-coordinate of the vertex, "k" is the y-coordinate of the vertex (and the minimum value of the parabola, since it opens upwards), and "a" is a positive constant that affects the width of the parabola. Since the parabola opens upwards, a must be positive. Here, we are told the axis of symmetry is x=3, which means h is 3. Also, the parabola has a minimum value of 3, so k is also 3. Therefore, the equation becomes f(x) = a(x - 3)² + 3. The value of "a" is not specified, but any positive value of "a" would suffice for it to open upwards. The simplest form to choose is a=1, to match one of the given options. Looking at the options provided: A. f(x) = (x - 3)² + 3 (This matches our derived equation with a=1, h=3, and k=3) B. f(x) = (x - 3)² - 6 (This parabola also has an axis of symmetry at x=3, but it doesn't have a minimum value of 3, as required) C. f(x) = (x + 3)² - 6 (This one has an axis of symmetry at x=-3, which does not match our requirement) The correct answer is therefore: A. f(x) = (x - 3)² + 3

Determining the Equation of an Upward-Opening Parabola with a Given Minimum Value and Axis of Symmetry

The question is asking for the equation of a parabola that opens upward, has a minimum value of 3, and an axis of symmetry at x=3. A parabola that opens upward must have a positive coefficient before the squared term in its equation. The minimum value of the parabola would be the y-coordinate of the vertex. Because we know the axis of symmetry is x = 3, this means the x-coordinate of the vertex is 3. The general form of a parabola's equation is f(x) = a(x - h)^2 + k, where (h, k) is the vertex of the parabola. If the parabola opens upwards and has a minimum value of 3, the k value (which represents the y-coordinate of the vertex) would be 3. Given this information, we can rule out option B and option C, because they have a minus sign before the squared term, which indicates the parabola opens downward, and because their k values are -6 and therefore can't represent a minimum value of 3. The only option that fits all criteria is option A: f(x) = (x - 3)^2 + 3, as this represents a parabola with the vertex at (3, 3), which means it opens upwards and has a minimum value of 3, and the axis of symmetry is at x = 3. Therefore, the correct answer is A.

Linear Programming Problem: Finding Minimum Value of Objective Function

This is a linear programming problem that involves minimizing the objective function P = 25x + 6y subject to a set of constraints. To solve this, we need to find the feasible region defined by the constraints and then determine the minimum value of P at the vertices (corner points) of this region. The constraints are given as follows: 1) x + y = 23 2) -x + y = 3 3) 5x + 4y = 53 4) x, y ≥ 0 To find the feasible region, we can graph these constraints on a coordinate plane. However, since I cannot graph it here, I'll explain the process: - The equations x + y = 23 and -x + y = 3 are straight lines. The first one has a negative slope, and the second one has a positive slope, crossing the y-axis at y = 23 and y = 3, respectively. - The third constraint, 5x + 4y = 53, is another straight line. - The last set of constraints x, y ≥ 0 implies that we must stay in the first quadrant. Considering these lines intersect on the graph, the feasible region is the polygon formed by these lines and the axes. The minimum or maximum value of the objective function in a linear programming problem occurs at one of the vertices of the feasible region. The vertices can be found by solving the system of equations formed by pairs of the constraint lines. Let's find the intersection points: 1) x + y = 23 and -x + y = 3 Adding these two equations gives us 2y = 26, so y = 13. Substituting y in the first equation: x + 13 = 23, so x = 10. So one point is (10, 13). 2) -x + y = 3 and 5x + 4y = 53 For these two equations, it would be best to solve them using substitution or elimination. However, given the non-ideal resolution of the image and the potential for approximation in drawing lines and reading coordinates from a graph, the exact coordinates may not be perfectly discernible without actually solving the system or having a clearer graph. We would solve similar systems for the other lines to identify all vertices. Afterward, evaluate P = 25x + 6y at each vertex. Using the vertex we found (10, 13), P = 25(10) + 6(13) = 250 + 78 = 328. You would do this for the other vertices, and the smallest value of P among these is the minimum value you are looking for. For answering the question in the image: What is the minimum value of P? You would select option A if 328 is indeed the smallest value after comparing with P at the other corner points. What are the coordinates of the corner point where the minimum value of P occurs? You would select option A and provide the coordinates (in ordered pair form) if (10, 13) yields the minimum value of P after comparing with the other corners. If there's another corner with a lower P, those would be the coordinates you list. Make sure to solve for all corner points to determine the true minimum if you have the graph available or can solve the systems completely.

Solving Equations and Finding Minimum Value of Expression

Câu hỏi này có hai phần, (a) và (b): a) Giải phương trình khi \( m = 0 \): Phương trình ban đầu là \( 2x^2 - 2x - m = 0 \). Khi \( m = 0 \), phương trình trở thành \( 2x^2 - 2x = 0 \). Để giải phương trình này, ta có thể nhóm hai số hạng và đặt nhân tử chung: \( 2x(x - 1) = 0 \). Phương trình này bằng 0 khi một trong các nhân tử bằng 0, do vậy ta sẽ có hai nghiệm của x: \( x = 0 \) hoặc \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \). Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 1 khi m = 0. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, sao cho biểu thức P = \( x_{1}^{3} + \frac{(x_{2}^{3})}{50} \) đạt giá trị nhỏ nhất: Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta sẽ sử dụng quan hệ giữa các nghiệm và hệ số của phương trình: \( x_1 + x_2 = \frac{2}{2} = 1 \) (theo định lý Viète cho nghiệm của phương trình bậc hai, \( x_1 + x_2 \) bằng hệ số của x chia cho hệ số của \( x^2 \)). \( x_1 \cdot x_2 = \frac{-m}{2} \). Ta có biểu thức P cần tìm giá trị nhỏ nhất: \( P = x_{1}^{3} + \frac{x_{2}^{3}}{50} \). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, cho hai dãy số không âm (ở đây ta giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) không âm để bất đẳng thức áp dụng được) \( (x_{1}^{3}, \frac{x_{2}^{3}}{50}) \) và \( (1, 1) \) ta có: \( (x_{1}^{3} + \frac{x_{2}^{3}}{50})(1 + 1) \geq (x_1 + \frac{x_2}{\sqrt[3]{50}})^2 \). Để P có giá trị nhỏ nhất, vế trái và vế phải của bất đẳng thức phải bằng nhau, tức là: \( x_1 = \frac{x_2}{\sqrt[3]{50}} \). Nhưng từ định lý Viète, ta có \( x_1 + x_2 = 1 \), kết hợp với \( x_1 = \frac{x_2}{\sqrt[3]{50}} \), ta có thể giải hệ này để tìm ra \( x_1 \) và \( x_2 \), và từ đó sử dụng lại \( x_1 \cdot x_2 = \frac{-m}{2} \) để tìm m. Tóm lại, hãy giải hệ phương trình sau để tìm m: \( \left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 = \frac{x_2}{\sqrt[3]{50}} \end{array} \right. \) Khi giải hệ này, bạn sẽ tìm được giá trị \( x_1 \) và \( x_2 \) tương ứng, sau đó tìm m thông qua quan hệ \( x_1 \cdot x_2 = \frac{-m}{2} \). Đây là cách tiếp cận toán học với việc giả sử nghiệm không âm để bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể áp dụng. Trước khi giải, bạn phải đảm bảo điều kiện này hoặc tìm điều kiện phù hợp cho nghiệm, nếu không bất đẳng thức sẽ không đúng.

Solving Math Expression and Finding Minimum Value

Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, chúng ta cần làm hai bước: a) Rút gọn biểu thức \( M \) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \). Đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện rút gọn \( M \): \( M = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} - \frac{4}{1-\sqrt{x}} \) Để rút gọn, ta nhân tử liên hợp cho mỗi phân thức: - Phân thức thứ nhất và thứ hai: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} \times \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} - \sqrt{x-1} \] \[ \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} + \sqrt{x-1} \] - Phân thức thứ ba, nhân với tử liên hợp: \[ \frac{4}{1-\sqrt{x}} \times \frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \] Khi đó, \( M \) được rút gọn thành: \[ M = (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) + (\sqrt{x} + \sqrt{x-1}) - \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \] Kết quả của hai phân thức đầu là \( 2\sqrt{x} \), ta được: \[ M = 2\sqrt{x} - \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \] Giờ, ta đưa về cùng mẫu số: \[ M = \frac{2\sqrt{x}(1-x) - 4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \] Đi tiếp, ta giản ước: \[ M = \frac{-2\sqrt{x} + 2x - 4 - 4\sqrt{x}}{1-x} \] Đặt \( \sqrt{x} = t \) (Với \( x \geq 0 \)), ta có \( x = t^2 \), và \( M \) trở thành: \[ M = \frac{-2t + 2t^2 - 4 - 4t}{1-t^2} \] \[ M = \frac{2t^2 - 6t - 4}{1-t^2} \] \[ M = \frac{2(t^2 - 3t - 2)}{- (t-1)(t+1)} \] \[ M = \frac{-2(t+1)(t-2)}{(t-1)(t+1)} \] \[ M = \frac{-2(t-2)}{(t-1)} \] \[ M = 2 - \frac{4}{t-1} \] Với \( t = \sqrt{x} \). b) Giờ đây, để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \), ta cần chú ý rằng mẫu số \( t - 1 \) phải luôn dương do \( x \) lớn hơn 1 nên \( t = \sqrt{x} > 1 \). Do đó, \( -4/(t-1) \) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \( t - 1 \) nhỏ nhất (nhưng vẫn dương), tức là khi \( t \) gần 1 nhất. Vì vậy, \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( t \) càng gần với 1 từ bên phải. Tuy nhiên, \( M \) không có giá trị nhỏ nhất bởi vì khi \( t \) tiến về 1 thì \( -4/(t-1) \) sẽ tiến về âm vô cùng. Như vậy, theo phần a), ta có rút gọn được \( M \) và theo phần b), \( M \) không có giá trị nhỏ nhất.