Example Question - complete the square
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Diameter of a Circle from a Given Equation
Complete the square for \( x \) and \( y \): \( x^2 + 22x = x^2 + 22x + (22/2)^2 - (22/2)^2 = (x+11)^2 - 121 \) \( y^2 + 30y = y^2 + 30y + (30/2)^2 - (30/2)^2 = (y+15)^2 - 225 \) Rewrite the equation: \( (x+11)^2 - 121 + (y+15)^2 - 225 + 90 = 0 \) \( (x+11)^2 + (y+15)^2 = 121 + 225 - 90 \) \( (x+11)^2 + (y+15)^2 = 256 \) The equation \( (x+11)^2 + (y+15)^2 = 256 \) represents a circle with radius \( r^2 = 256 \), so \( r = 16 \). Diameter \( d = 2r = 2 \times 16 = 32 \). The diameter of the circle is 32.
Optimizing Expression to Find Minimum Value
Đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để biến đổi biểu thức \( P = \frac{x^3 - 2x^2 + 2025}{x^2} \). Tách \( 2025 \) ra thành \( 2025 = 45^2 \), đồng thời nhóm \( x^3 - 2x^2 \) lại với nhau để tạo thành một bình phương của một biểu thức tổng quát. Ta có \( x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) \). Để hoàn thành bình phương, ta cần tìm một số \( a \) sao cho \( (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \) gần giống với biểu thức hiện tại. Ở đây, ta có \( a = 1 \), vì \( -2x^2 \) gợi ý về hệ số gấp đôi của \( x \) khi bình phương. Biến đổi biểu thức \( P \) như sau: \[ P = \frac{x^2(x - 2) + 2025}{x^2} = \frac{x^2(x - 2) + 45^2}{x^2} = \frac{(x^2 - 2\cdot x \cdot 1 + 1) + (45^2 - 1)}{x^2} = \frac{(x - 1)^2 + 2024}{x^2} \] Bây giờ, biểu thức \( P \) có dạng \( \frac{(x - 1)^2}{x^2} + \frac{2024}{x^2} \). Xét hàm số \( f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2} \), hàm số này đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \( x = 1 \) (vì đây là tổng của các bình phương, nên không thể nhỏ hơn 0). Hơn nữa, ta cũng thấy rằng hàm số \( \frac{2024}{x^2} \) cũng đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \( x \rightarrow \infty \). Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) sẽ là khi các phần tử đều đạt giá trị nhỏ nhất, đó là: \[ P_{min} = 0 + 0 = 0 \] Nhưng cần nhớ rằng \( x \) phải khác 0 (vì nó nằm ở mẫu số). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) mà đề bài yêu cầu là \( P_{min} = 0 \) với \( x \neq 0 \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com