Example Question - optimizing expression
Here are examples of questions we've helped users solve.
Optimizing Expression to Find Minimum Value
Đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để biến đổi biểu thức \( P = \frac{x^3 - 2x^2 + 2025}{x^2} \). Tách \( 2025 \) ra thành \( 2025 = 45^2 \), đồng thời nhóm \( x^3 - 2x^2 \) lại với nhau để tạo thành một bình phương của một biểu thức tổng quát. Ta có \( x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) \). Để hoàn thành bình phương, ta cần tìm một số \( a \) sao cho \( (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \) gần giống với biểu thức hiện tại. Ở đây, ta có \( a = 1 \), vì \( -2x^2 \) gợi ý về hệ số gấp đôi của \( x \) khi bình phương. Biến đổi biểu thức \( P \) như sau: \[ P = \frac{x^2(x - 2) + 2025}{x^2} = \frac{x^2(x - 2) + 45^2}{x^2} = \frac{(x^2 - 2\cdot x \cdot 1 + 1) + (45^2 - 1)}{x^2} = \frac{(x - 1)^2 + 2024}{x^2} \] Bây giờ, biểu thức \( P \) có dạng \( \frac{(x - 1)^2}{x^2} + \frac{2024}{x^2} \). Xét hàm số \( f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2} \), hàm số này đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \( x = 1 \) (vì đây là tổng của các bình phương, nên không thể nhỏ hơn 0). Hơn nữa, ta cũng thấy rằng hàm số \( \frac{2024}{x^2} \) cũng đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \( x \rightarrow \infty \). Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) sẽ là khi các phần tử đều đạt giá trị nhỏ nhất, đó là: \[ P_{min} = 0 + 0 = 0 \] Nhưng cần nhớ rằng \( x \) phải khác 0 (vì nó nằm ở mẫu số). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) mà đề bài yêu cầu là \( P_{min} = 0 \) với \( x \neq 0 \).
Optimizing Expression with Cauchy-Schwarz Inequality
Vấn đề của bạn là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{x^3 - 2lx + 2025}{x^2} \) với \( x \neq 0 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, chúng ta cần tiến hành phép chia đa thức: Đầu tiên, tách 2025 thành 2lx và một số còn lại để thực hiện phép chia: 2025 = 2lk + m, với l là giá trị mà chúng ta sẽ tìm, k là giá trị cố định (vì 2l là hệ số của x), và m là số dư còn lại. Bây giờ, chúng ta có thể viết lại biểu thức P như sau: \[ P = x - \frac{2l}{x} + \frac{m}{x^2} \] Chúng ta cần phải tối ưu hóa biểu thức này để tìm giá trị nhỏ nhất. Để làm điều đó, chúng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, một công cụ mạnh để xử lý các vấn đề tối ưu hóa trong toán học: Bất đẳng thức này có thể được viết là: \[ (\frac{2l}{x} + \frac{\sqrt{m}}{x})^2 \leq (1+1)(\frac{4l^2}{x^2}+\frac{m}{x^2}) \] \[ 4l^2 + 4l\sqrt{m} + m \leq \frac{4l^2}{x^2} + \frac{2m}{x^2} + 2 \] Chúng ta muốn tìm giá trị nhỏ nhất của P, tức là: \[ x - \frac{2l}{x} + \frac{m}{x^2} \geq x - \sqrt{4l^2 + 4l\sqrt{m} + m} \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của P chính là: \[ x - \sqrt{4l^2 + 4l\sqrt{m} + m} \] Để thực hiện tiếp, chúng ta cần thông tin cụ thể về l và m mà không được cung cấp trong câu hỏi. Nếu bạn cung cấp thông tin chi tiết hơn, tôi có thể giúp bạn hoàn thành bài toán.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com