Example Question - divisibility properties
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Finding Numbers for Hasse Diagram Properties
Die Übung 8.4 verlangt von uns, Zahlen zu finden, die die Teilbarkeitseigenschaften der dargestellten Hasse-Diagramme repräsentieren. In einem Hasse-Diagramm repräsentiert jedes Element eine Zahl und die Verbindungen zwischen Elementen stellen eine Teilbarkeitsbeziehung dar, wobei das untere Element ein Teiler des oberen Elements ist. a) Für das erste Diagramm (a) benötigen wir Zahlen, bei denen die größere Zahl durch die beiden kleineren Zahlen teilbar ist. Eine mögliche Menge von Zahlen, die dieses Diagramm erfüllen, ist: 2, 3 und 6. Hierbei ist 6 durch 2 und 3 teilbar. b) Für das zweite Diagramm (b) brauchen wir einen Satz von drei Zahlen, bei dem es eine größte Zahl gibt, die durch eine mittlere Zahl teilbar ist, und diese mittlere Zahl ist wiederum durch eine kleinste Zahl teilbar. Ein passendes Beispiel hierfür wäre 2, 4 und 8: 8 ist durch 4 teilbar, und 4 ist durch 2 teilbar. c) Für das dritte Diagramm (c) ist eine Zahl, die durch zwei Zahlen teilbar ist, mit keiner direkten Verbindung zwischen diesen beiden Zahlen erforderlich. Ein Beispiel dafür wäre 1, 2 und 4. Die Zahl 4 ist durch 2 teilbar und beide Zahlen, 4 und 2, sind durch 1 teilbar, wobei 2 und 1 nicht direkt verbunden sind. Denken Sie beim Suchen nach weiteren Zahlenmengen für jedes Diagramm an diese Beziehungsstrukturen und wählen Sie entsprechende Beispiele von Zahlen, die den Teilbarkeitsregeln entsprechen.
Number Theory: Divisibility Properties of Whole Numbers
Bevor ich mit den einzelnen Behauptungen begine, sei darauf hingewiesen, dass "G" in diesem Kontext die Menge der ganzen Zahlen darstellt und das Symbol "|" bedeutet, dass die linke Zahl ein Teiler der rechten Zahl ist. Zum Beispiel: a | b bedeutet, dass a ein Teiler von b ist, d.h. b ist ein Vielfaches von a. a. Behauptung: Wenn a | 1, dann a = 1. Begründung: Da a ein Teiler von 1 sein muss und 1 nur sich selbst als Teiler hat, muss a gleich 1 sein. Daher ist diese Behauptung wahr. b. Behauptung: Für b ≥ 1: Wenn a | b und b | a, dann a = b. Begründung: Wenn a | b, dann gibt es ein k in G, sodass ak = b. Wenn auch b | a, dann gibt es ein l in G, sodass bl = a. Setzt man diese beiden Gleichungen gleich, erhält man akl = a. Da a nicht Null ist (sonst könnte es nicht b teilen, wenn b ≥ 1), kann man durch a teilen und erhält kl = 1. Da k und l ganze Zahlen sind und das Produkt 1 ist, müssen beide entweder 1 oder -1 sein. Aber da b ≥ 1, muss k = 1 sein und daher l = 1. Daraus folgt, dass a = b. Also ist auch diese Behauptung wahr. c. Behauptung: Wenn a | b und b | c, dann a | b+c. Begründung: Wenn a | b, existiert ein ganzes k, sodass ak = b. Wenn b | c, existiert ein ganzes l, sodass bl = c. Dann ist c = bl = (ak)l = a(kl). Somit ist (b+c) = b + (akl) = ak + akl = a(k+kl). Da (k+kl) eine ganze Zahl ist, folgt daraus, dass a | (b+c). Diese Behauptung ist also ebenfalls wahr. d. Behauptung: Wenn a | b und b | c, dann a | (b-c). Begründung: Ähnlich wie bei der vorherigen Behauptung können wir sagen, dass, wenn a | b, ein ganzes k existiert, sodass ak = b, und wenn b | c, ein ganzes l existiert, sodass bl = c. Dann ist c = bl = (ak)l = a(kl) und b = ak. Daraus folgt, dass (b-c) = b - (akl) = ak - akl = a(k-kl). Da (k-kl) eine ganze Zahl ist, ist auch diese Behauptung wahr. e. Behauptung: Wenn a | b und c | d, dann a*c | b*d. Begründung: Wenn a | b, gibt es ein ganzes k, sodass ak = b. Wenn c | d, gibt es ein ganzes l, sodass cl = d. Somit ist b*d = (ak)*(cl) = a*c*(kl). Da kl eine ganze Zahl ist, folgt daraus, dass a*c | b*d. Diese Behauptung ist auch wahr. Alle vorgestellten Behauptungen sind demnach wahr auf Grundlage der Teiler-Definition und der Eigenschaften der ganzen Zahlen.
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