Number System Conversion Using Horner's Method
Die Aufgabe besteht darin, Zahlen in verschiedene Zahlensysteme umzuwandeln. Beim Horner-Verfahren, auch bekannt als Horner-Schema, wird eine Zahl aus einem nicht-dezimalen Zahlensystem in das Dezimalsystem umgerechnet, indem man iterativ die Ziffern der Zahl mit ihrem Stellenwert multipliziert und die Ergebnisse addiert.
a) Um die Zahl \( (6543)_7 \) in das Dezimalsystem umzurechnen, verwenden wir das Horner-Schema:
Starte mit der höchsten Stelle:
\( 6 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^0 \)
\( = 6 \cdot 343 + 5 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 3 \cdot 1 \)
\( = 2058 + 245 + 28 + 3 \)
\( = 2334 \)
Die Zahl \( (6543)_7 \) entspricht also \( 2334 \) im Dezimalsystem.
b) Für die binäre Zahl \( (001001)_2 \) sieht das Horner-Schema so aus:
\( 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \)
\( = 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 \)
\( = 9 \)
Die Zahl \( (001001)_2 \) entspricht also \( 9 \) im Dezimalsystem.
c) Die Zahl \( (555)_6 \) wird wie folgt umgerechnet:
\( 5 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0 \)
\( = 5 \cdot 36 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1 \)
\( = 180 + 30 + 5 \)
\( = 215 \)
Die Zahl \( (555)_6 \) entspricht also \( 215 \) im Dezimalsystem.
d) Für Hexadezimalzahlen, bei denen Buchstaben als Ziffern für Werte größer als 9 stehen (z.B. A entspricht 10, B entspricht 11 usw.), wird die Zahl \( (9A1BC)_16 \) so umgewandelt:
\( 9 \cdot 16^4 + 10 \cdot 16^3 + 1 \cdot 16^2 + 11 \cdot 16^1 + 12 \cdot 16^0 \)
\( = 9 \cdot 65536 + 10 \cdot 4096 + 1 \cdot 256 + 11 \cdot 16 + 12 \cdot 1 \)
\( = 589824 + 40960 + 256 + 176 + 12 \)
\( = 630228 \)
Die Zahl \( (9A1BC)_16 \) entspricht also \( 630228 \) im Dezimalsystem.
