Example Question - number system conversion
Here are examples of questions we've helped users solve.
Mathematical Operations in Harry Potter Universe
Aufgabe a): In der Zaubererwelt von Harry Potter ist die Währung wie folgt unterteilt: 1 Galleone = 17 Sickel = 493 Knut. Harry hat also 1 Galleone in seiner Tasche, was 17 Sickel oder 493 Knut entspricht. Harry gibt dann 3 Sickel und 2 Knut aus. Um zu berechnen, wie viele Sickel und Knuts er noch übrig hat, subtrahieren wir die ausgegebenen Beträge von seinem Anfangsbetrag. 1 Galleone = 17 Sickel = 493 Knut Harry gibt aus: 3 Sickel und 2 Knut Um die verbleibenden Sickel zu berechnen, ziehen wir die 3 Sickel von den 17 Sickel (die 1 Galleone wert sind) ab: 17 Sickel - 3 Sickel = 14 Sickel Um die verbleibenden Knuts zu berechnen, wollen wir die 2 Knut von dem Wert eines Sickels abziehen, da wir wissen, dass 1 Sickel 29 Knut wert ist. Aber um den Ausdruck in Knut zu konvertieren und die Berechnung durchführen zu können, rechnen wir die verbleibenden Sickel in Knut um. 14 Sickel * 29 Knut/Sickel = 406 Knut Jetzt zu den Knuts: 406 Knut (von Sickel umgerechnet) + (die verbliebenen 1 Galleone in Knut, abzüglich der ausgegebenen 2 Knut): 493 Knut - 2 Knut = 491 Knut Addieren wir die umgerechneten Knut zu unserem Ergebnis: 406 Knut + 491 Knut = 897 Knut Harry hat nach dem Einkauf also 14 Sickel und 897 Knut übrig. Aufgabe b): Um die gegebene Zahl 6453 im 9er-System (Basis 9) in das 10er-System (Basis 10) umzurechnen, nutzen wir die Stellenwerte der einzelnen Ziffern. Im 9er-System entspricht die erste Ziffer rechts (3) den Einer, die zweite Ziffer (5) den Neunern, die dritte Ziffer (4) den 81ern (9^2) und die vierte Ziffer (6) den 729ern (9^3). 6453_(9) = 6 * 729 + 4 * 81 + 5 * 9 + 3 * 1 Nun berechnen wir die Produkte: 6 * 729 = 4374 4 * 81 = 324 5 * 9 = 45 3 * 1 = 3 Addiere diese Werte zusammen: 4374 + 324 + 45 + 3 = 4746 So ergibt sich als Umrechnung von 6453_(9) ins 10er-System der Wert 4746_(10). Nun berechnen wir den Wert für 4527_(9) im 10er-System auf die gleiche Weise: 4527_(9) = 4 * 729 + 5 * 81 + 2 * 9 + 7 * 1 Berechnen der Produkte: 4 * 729 = 2916 5 * 81 = 405 2 * 9 = 18 7 * 1 = 7 Zusammengezählt ergibt das: 2916 + 405 + 18 + 7 = 3346 4527_(9) umgerechnet in das 10er-System ist also 3346_(10). Um den Unterschied der beiden Werte im 10er-System zu bestimmen: 4746_(10) - 3346_(10) = 1400 Der Unterschied zwischen den beiden Zahlen im 10er-System ist 1400.
Number System Conversion Using Horner's Method
Die Aufgabe besteht darin, Zahlen in verschiedene Zahlensysteme umzuwandeln. Beim Horner-Verfahren, auch bekannt als Horner-Schema, wird eine Zahl aus einem nicht-dezimalen Zahlensystem in das Dezimalsystem umgerechnet, indem man iterativ die Ziffern der Zahl mit ihrem Stellenwert multipliziert und die Ergebnisse addiert. a) Um die Zahl \( (6543)_7 \) in das Dezimalsystem umzurechnen, verwenden wir das Horner-Schema: Starte mit der höchsten Stelle: \( 6 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^0 \) \( = 6 \cdot 343 + 5 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 3 \cdot 1 \) \( = 2058 + 245 + 28 + 3 \) \( = 2334 \) Die Zahl \( (6543)_7 \) entspricht also \( 2334 \) im Dezimalsystem. b) Für die binäre Zahl \( (001001)_2 \) sieht das Horner-Schema so aus: \( 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \) \( = 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 \) \( = 9 \) Die Zahl \( (001001)_2 \) entspricht also \( 9 \) im Dezimalsystem. c) Die Zahl \( (555)_6 \) wird wie folgt umgerechnet: \( 5 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0 \) \( = 5 \cdot 36 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1 \) \( = 180 + 30 + 5 \) \( = 215 \) Die Zahl \( (555)_6 \) entspricht also \( 215 \) im Dezimalsystem. d) Für Hexadezimalzahlen, bei denen Buchstaben als Ziffern für Werte größer als 9 stehen (z.B. A entspricht 10, B entspricht 11 usw.), wird die Zahl \( (9A1BC)_16 \) so umgewandelt: \( 9 \cdot 16^4 + 10 \cdot 16^3 + 1 \cdot 16^2 + 11 \cdot 16^1 + 12 \cdot 16^0 \) \( = 9 \cdot 65536 + 10 \cdot 4096 + 1 \cdot 256 + 11 \cdot 16 + 12 \cdot 1 \) \( = 589824 + 40960 + 256 + 176 + 12 \) \( = 630228 \) Die Zahl \( (9A1BC)_16 \) entspricht also \( 630228 \) im Dezimalsystem.
Decimal Conversion using Horner's Method
Die Aufgabe lautet: "Übersetzen Sie folgende Zahlen in das Dezimalsystem (Verwenden Sie das Hornerverfahren / Klammerschema):" a. (3221)_4 b. (444)_5 c. (101011)_2 d. (45678)_8 e. (F94A8)_16 f. (123321)_4 Um diese Zahlen ins Dezimalsystem zu übersetzen, wenden wir das Hornerverfahren (auch bekannt als Klammerschema) an. Das Hornerverfahren erleichtert die Umrechnung von Zahlen aus einem beliebigen Stellenwertsystem in das Dezimalsystem. Dabei wird die Zahl von links nach rechts abgearbeitet. a. (3221)_4 in Dezimal: 3 * 4^3 + 2 * 4^2 + 2 * 4^1 + 1 * 4^0 = 3 * 64 + 2 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 = 192 + 32 + 8 + 1 = 233 b. (444)_5 in Dezimal: 4 * 5^2 + 4 * 5^1 + 4 * 5^0 = 4 * 25 + 4 * 5 + 4 * 1 = 100 + 20 + 4 = 124 c. (101011)_2 in Dezimal: 1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 32 + 0 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43 d. (45678)_8 in Dezimal: 4 * 8^4 + 5 * 8^3 + 6 * 8^2 + 7 * 8^1 + 8 * 8^0 = 4 * 4096 + 5 * 512 + 6 * 64 + 7 * 8 + 8 * 1 = 16384 + 2560 + 384 + 56 + 8 = 19392 e. (F94A8)_16 in Dezimal: Um den Wert der hexadezimalen Ziffern zu bestimmen, nutzt man die Entsprechungen: F = 15, 9 = 9, 4 = 4, A = 10 und 8 = 8. 15 * 16^4 + 9 * 16^3 + 4 * 16^2 + 10 * 16^1 + 8 * 16^0 = 15 * 65536 + 9 * 4096 + 4 * 256 + 10 * 16 + 8 * 1 = 983040 + 36864 + 1024 + 160 + 8 = 1024096 f. (123321)_4 in Dezimal: 1 * 4^5 + 2 * 4^4 + 3 * 4^3 + 3 * 4^2 + 2 * 4^1 + 1 * 4^0 = 1 * 1024 + 2 * 256 + 3 * 64 + 3 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 = 1024 + 512 + 192 + 48 + 8 + 1 = 1785 Das sind die Ergebnisse der Umrechnung ins Dezimalsystem unter Verwendung des Hornerverfahrens.
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