Example Question - horner's method
Here are examples of questions we've helped users solve.
Number System Conversion Using Horner's Method
Die Aufgabe besteht darin, Zahlen in verschiedene Zahlensysteme umzuwandeln. Beim Horner-Verfahren, auch bekannt als Horner-Schema, wird eine Zahl aus einem nicht-dezimalen Zahlensystem in das Dezimalsystem umgerechnet, indem man iterativ die Ziffern der Zahl mit ihrem Stellenwert multipliziert und die Ergebnisse addiert. a) Um die Zahl \( (6543)_7 \) in das Dezimalsystem umzurechnen, verwenden wir das Horner-Schema: Starte mit der höchsten Stelle: \( 6 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^0 \) \( = 6 \cdot 343 + 5 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 3 \cdot 1 \) \( = 2058 + 245 + 28 + 3 \) \( = 2334 \) Die Zahl \( (6543)_7 \) entspricht also \( 2334 \) im Dezimalsystem. b) Für die binäre Zahl \( (001001)_2 \) sieht das Horner-Schema so aus: \( 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \) \( = 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 \) \( = 9 \) Die Zahl \( (001001)_2 \) entspricht also \( 9 \) im Dezimalsystem. c) Die Zahl \( (555)_6 \) wird wie folgt umgerechnet: \( 5 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0 \) \( = 5 \cdot 36 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1 \) \( = 180 + 30 + 5 \) \( = 215 \) Die Zahl \( (555)_6 \) entspricht also \( 215 \) im Dezimalsystem. d) Für Hexadezimalzahlen, bei denen Buchstaben als Ziffern für Werte größer als 9 stehen (z.B. A entspricht 10, B entspricht 11 usw.), wird die Zahl \( (9A1BC)_16 \) so umgewandelt: \( 9 \cdot 16^4 + 10 \cdot 16^3 + 1 \cdot 16^2 + 11 \cdot 16^1 + 12 \cdot 16^0 \) \( = 9 \cdot 65536 + 10 \cdot 4096 + 1 \cdot 256 + 11 \cdot 16 + 12 \cdot 1 \) \( = 589824 + 40960 + 256 + 176 + 12 \) \( = 630228 \) Die Zahl \( (9A1BC)_16 \) entspricht also \( 630228 \) im Dezimalsystem.
Converting Numbers to Decimal Using Horner's Method
Die Aufgabe verlangt, Zahlen, die in anderen Zahlensystemen gegeben sind, in das Dezimalsystem umzurechnen, und zwar sowohl nach dem Hornerverfahren (mit Klammerdarstellung) als auch nach dem Hornerschema. Ich werde das Hornerverfahren bzw. Hornerschema hier am Beispiel der ersten Zahl (a) demonstrieren, die im oktalen System (Basis 8) dargestellt ist: \( (6543)_8 \). Das Hornerverfahren (Klammerdarstellung) für das Umrechnen einer Zahl aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalsystem ist eine Methode "von links nach rechts", bei der jede Ziffer der Zahl mit der Basis des Systems potenziert und dann in einer geschachtelten Klammer aufsummiert wird. Das schaut so aus: \( (6543)_8 = 6 \cdot 8^3 + 5 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 \) Nun berechnen wir die Potenzen und führen die Multiplikationen durch: \( = 6 \cdot 512 + 5 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 3 \cdot 1 \) \( = 3072 + 320 + 32 + 3 \) Und addieren alles zusammen, um das Ergebnis im Dezimalsystem zu erhalten: \( = 3072 + 320 + 32 + 3 = 3427 \) Damit ist die oktale Zahl \( (6543)_8 \) im Dezimalsystem \( 3427 \). Für das Hornerschema sieht das Prozedere so aus (vom höchsten zum niedrigsten Stellenwert): \[ \begin{align*} &\phantom{=} (_8)\downarrow\ \ \ (\times 8) \ \ (\rightarrow) \\ &(6)\ \ \ \ \ \ 6*8+5=53 \\ &(53)\ \ \ \ 53*8+4=428 \\ &(428)\ \ 428*8+3=3427 \end{align*} \] Das Ergebnis nach dem Hornerschema ist also ebenfalls \( 3427 \) im Dezimalsystem. Die anderen Zahlen in der Aufgabe sind entsprechend für ihre jeweiligen Systeme (Binär, Quinary und Hexadezimal) umzurechnen.
Decimal Conversion using Horner's Method
Die Aufgabe lautet: "Übersetzen Sie folgende Zahlen in das Dezimalsystem (Verwenden Sie das Hornerverfahren / Klammerschema):" a. (3221)_4 b. (444)_5 c. (101011)_2 d. (45678)_8 e. (F94A8)_16 f. (123321)_4 Um diese Zahlen ins Dezimalsystem zu übersetzen, wenden wir das Hornerverfahren (auch bekannt als Klammerschema) an. Das Hornerverfahren erleichtert die Umrechnung von Zahlen aus einem beliebigen Stellenwertsystem in das Dezimalsystem. Dabei wird die Zahl von links nach rechts abgearbeitet. a. (3221)_4 in Dezimal: 3 * 4^3 + 2 * 4^2 + 2 * 4^1 + 1 * 4^0 = 3 * 64 + 2 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 = 192 + 32 + 8 + 1 = 233 b. (444)_5 in Dezimal: 4 * 5^2 + 4 * 5^1 + 4 * 5^0 = 4 * 25 + 4 * 5 + 4 * 1 = 100 + 20 + 4 = 124 c. (101011)_2 in Dezimal: 1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 32 + 0 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43 d. (45678)_8 in Dezimal: 4 * 8^4 + 5 * 8^3 + 6 * 8^2 + 7 * 8^1 + 8 * 8^0 = 4 * 4096 + 5 * 512 + 6 * 64 + 7 * 8 + 8 * 1 = 16384 + 2560 + 384 + 56 + 8 = 19392 e. (F94A8)_16 in Dezimal: Um den Wert der hexadezimalen Ziffern zu bestimmen, nutzt man die Entsprechungen: F = 15, 9 = 9, 4 = 4, A = 10 und 8 = 8. 15 * 16^4 + 9 * 16^3 + 4 * 16^2 + 10 * 16^1 + 8 * 16^0 = 15 * 65536 + 9 * 4096 + 4 * 256 + 10 * 16 + 8 * 1 = 983040 + 36864 + 1024 + 160 + 8 = 1024096 f. (123321)_4 in Dezimal: 1 * 4^5 + 2 * 4^4 + 3 * 4^3 + 3 * 4^2 + 2 * 4^1 + 1 * 4^0 = 1 * 1024 + 2 * 256 + 3 * 64 + 3 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 = 1024 + 512 + 192 + 48 + 8 + 1 = 1785 Das sind die Ergebnisse der Umrechnung ins Dezimalsystem unter Verwendung des Hornerverfahrens.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com