Limit Calculation of a Rational Function as x Approaches a Specific Value
<p>Para resolver el límite, primero observamos la función racional y el valor al cual x se aproxima. Aquí, podemos aplicar la evaluación directa para resolver el límite:</p>
<p>\[
\lim_{{x \to -1}} \frac{5x^2 + 7x + 2}{x + 1}
\]</p>
<p>Primero probamos sustituir el valor de x directamente en la función:</p>
<p>\[
\frac{5(-1)^2 + 7(-1) + 2}{-1 + 1}
\]</p>
<p>\[
\frac{5(1) - 7 + 2}{0}
\]</p>
<p>\[
\frac{0}{0}
\]</p>
<p>Ya que obtenemos una forma indeterminada \(\frac{0}{0}\), necesitamos simplificar la función racional. Notamos que el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como \((5x+2)(x+1)\). La factorización nos da:</p>
<p>\[
\frac{(5x+2)(x+1)}{x + 1}
\]</p>
<p>Podemos ahora simplificar la expresión cancelando el factor común \(x + 1\):</p>
<p>\[
\frac{5x+2}{1}
\]</p>
<p>Ahora evaluamos el límite con x acercándose a -1:</p>
<p>\[
\lim_{{x \to -1}} (5x+2)
\]</p>
<p>\[
5(-1) + 2
\]</p>
<p>\[
-5 + 2
\]</p>
<p>\[
-3
\]</p>
<p>Por lo tanto, el resultado del límite es -3.</p>
