Example Question - exact equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Non-Exact Differential Equation by Finding an Integrating Factor
Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos: Primero, verifiquemos si la ecuación diferencial no es exacta. La ecuación diferencial dada es: <p>\((x^2 + xy - y^2)dx + (y^2 + 2xy - x^2)dy = 0\)</p> Calculamos \(\frac{\partial M}{\partial y}\) y \(\frac{\partial N}{\partial x}\), donde \(M = x^2 + xy - y^2\) y \(N = y^2 + 2xy - x^2\). <p>\(\frac{\partial M}{\partial y} = x - 2y\)</p> <p>\(\frac{\partial N}{\partial x} = 2y - 2x\)</p> Ya que \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación no es exacta. Segundo, busquemos el factor integrante \(\mu(x,y)\) que convierte la ecuación en una exacta. Para este problema, no se proporcionó explícitamente un factor integrante, así que no podemos continuar sin más información. Sin el factor integrante correcto, no podemos resolver la ecuación diferencial dada. Normalmente, el factor integrante dependería de una relación entre \(M\) y \(N\) y sus derivadas parciales, para llevar la ecuación a una forma exacta. En este caso, necesitamos más información o instrucciones adicionales sobre el factor integrante para proceder con la solución. Por ende, no podemos ofrecer una solución completa sin la información faltante sobre el factor integrante.
Solving an Inexact Differential Equation
Para resolver el problema 29, se nos presenta una ecuación diferencial que es inexacta. Necesitamos encontrar el factor integrante y resolver la ecuación exacta resultante. La ecuación diferencial inexacta dada es: \[ \left( x^2 + xy - y^2 \right)dx + \left( y^2 + 2xy - x^2 \right)dy = 0 \] Primero comprobamos si la ecuación es inexacta calculando las derivadas parciales. Para una ecuación diferencial de la forma \( Mdx + Ndy = 0 \), la condición de exactitud es \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \). Obtenemos \( M = x^2 + xy - y^2 \) y \( N = y^2 + 2xy - x^2 \), y calculamos: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = x - 2y \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = -x + 2y \] Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación no es exacta. Luego, se nos da un factor integrante \(\mu(x, y)\) que nos permitirá convertirla en una ecuación exacta, pero dado que la imagen no proporciona este factor integrante, no podemos continuar con la solución. En el caso de que se nos hubiera proporcionado un factor integrante \(\mu(x, y)\), el siguiente paso sería multiplicar toda la ecuación por \(\mu(x, y)\) para obtener la forma exacta, y luego resolverla a través de la integración.
First-Order Separable and Exact Differential Equations
<p>Sea la ecuación diferencial de la forma \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\), donde \(g(x)\) es una función solo de \(x\) y \(h(y)\) es una función solo de \(y\).</p> <p>Una ecuación diferencial es separable si se puede escribir en forma de producto de una función de \(x\) y una función de \(y\): \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\)</p> <p>Para ser una ecuación exacta, debe existir una función \(F(x,y)\) tal que \(\frac{dF}{dx} = g(x)h(y)\) y \(\frac{dF}{dy}=0\). Siempre que la ecuación diferencial pueda expresarse como la derivada total de \(F(x,y)\), es exacta.</p> <p>Por lo tanto, se puede decir que no todas las ecuaciones diferenciales de primer orden que son separables son exactas, porque ser separable no implica que pueda encontrarse una función \(F(x,y)\) cuya derivada total coincida con la ecuación diferencial dada.</p> <p>La afirmación es \textbf{falsa}.</p>
Differential Equations and Intelligent Solutions
<p>Primero verificamos si la ecuación dada \((x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + y dy = 0\) es exacta calculando las derivadas parciales de \(M(x, y) = x - \sqrt{x^2 + y^2}\) y \(N(x, y) = y\) respecto a \(y\) y \(x\) respectivamente.</p> <p>\(\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)</p> <p>\(\frac{\partial N}{\partial x} = 0\)</p> <p>Dado que \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación no es exacta.</p> <p>Se propone reacomodar la ecuación dada como \((d(x + y)/\sqrt{x^2 + y^2}) dx = dy\), lo que implica que podemos multiplicar ambos lados de la ecuación original por un factor integrante \(\mu = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) para hacerla exacta:</p> <p>\(\mu(x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + \mu y dy = 0\)</p> <p>\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}(x dx - (x^2 + y^2)^\frac{1}{2} dx) + \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} y dy = 0\)</p> <p>Reorganizando términos obtenemos:</p> <p>\(d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}dy = \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}} + d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) - \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)</p> <p>Cancelemos \(\frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) en ambos lados y nos queda:</p> <p>\(d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = 0\)</p> <p>Integrando ambos lados con respecto a \(x\) y a \(y\) respectivamente, encontramos que:</p> <p>\(\int d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + \int d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = C\)</p> <p>Esto implica que la función:</p> <p>\(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = C\)</p> <p>es una solución a la ecuación diferencial dada, donde \(C\) es una constante de integración.</p>
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