Question - Differential Equations and Integrating Factors

La ecuación diferencial dada es:

\( (x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + y dy = 0 \)

Intentamos reescribirla en una forma exacta multiplicando ambos lados por un factor integrante. Sea \( \mu(x,y) \) un factor integrante que buscamos, entonces multiplicamos la ecuación por \( \mu \) y buscamos condiciones para que sea exacta:

\( \mu(x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + \mu y dy = 0 \)

La condición para que una ecuación diferencial \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) sea exacta es que:

\( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \)

Si consideramos \( \mu(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \), entonces multiplicamos la ecuación original por \( \mu \), obtenemos:

\( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}dy = 0 \),

que es lo mismo que:

\( d(\sqrt{x^2 + y^2}) = 0 \)

Al integrar ambos lados con respecto a x, obtenemos:

\( \sqrt{x^2 + y^2} = C \),

donde \( C \) es una constante de integración.

Esto demuestra que si se elige el factor integrante adecuado, la ecuación diferencial original, que no es exacta, puede convertirse en una ecuación exacta y, por lo tanto, puede ser resuelta.