Example Question - integrating factors
Here are examples of questions we've helped users solve.
Differential Equations and Integrating Factors
<p> La ecuación diferencial dada es: </p> <p> \( (x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + y dy = 0 \) </p> <p> Intentamos reescribirla en una forma exacta multiplicando ambos lados por un factor integrante. Sea \( \mu(x,y) \) un factor integrante que buscamos, entonces multiplicamos la ecuación por \( \mu \) y buscamos condiciones para que sea exacta: </p> <p> \( \mu(x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + \mu y dy = 0 \) </p> <p> La condición para que una ecuación diferencial \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) sea exacta es que: </p> <p> \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \) </p> <p> Si consideramos \( \mu(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \), entonces multiplicamos la ecuación original por \( \mu \), obtenemos: </p> <p> \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}dy = 0 \), </p> <p> que es lo mismo que: </p> <p> \( d(\sqrt{x^2 + y^2}) = 0 \) </p> <p> Al integrar ambos lados con respecto a x, obtenemos: </p> <p> \( \sqrt{x^2 + y^2} = C \), </p> <p> donde \( C \) es una constante de integración. </p> <p> Esto demuestra que si se elige el factor integrante adecuado, la ecuación diferencial original, que no es exacta, puede convertirse en una ecuación exacta y, por lo tanto, puede ser resuelta. </p>
Analyzing Methods to Find Exact Differential Equations
Para la parte \( a \): <p>1. Verificamos si la ecuación es exacta tal y como está. Para ello calculamos \( \frac{\partial M}{\partial y} \) y \( \frac{\partial N}{\partial x} \).</p> <p>\( M(x, y) = xe^{xy} + 2xy \)</p> <p>\( N(x, y) = \frac{1}{x} \)</p> <p>\( \frac{\partial M}{\partial y} = xe^{xy} \cdot x + 2x \)</p> <p>\( \frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{1}{x^2} \)</p> <p>2. Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación no es exacta.</p> <p>3. Buscamos un factor integrante que dependa solo de x o solo de y, tal que convierta la ecuación en exacta.</p> <p>Para un factor integrante \( \mu(x) \), la condición para que sea exacta es: \( \frac{1}{N}\left( \frac{\partial (M\mu)}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) = \frac{d\mu}{dx} \)</p> <p>Resolvemos para encontrar \( \mu(x) \) que satisface esta condición.</p> Para la parte \( b \): <p>1. Similarmente, verificamos si la ecuación es exacta como está.</p> <p>\( M(x, y) = x^{-1/2}y^{1/2} + \frac{x}{x^2 + y^2} \)</p> <p>\( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{2}x^{-1/2}y^{-1/2} - \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \)</p> <p>Como no se proporciona \( N(x, y) \), no podemos proceder sin esa información.</p> <p>2. Si \( N(x, y) \) ha sido proporcionado, calcularíamos \( \frac{\partial N}{\partial x} \) y verificaríamos si \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \).</p> <p>3. Si la ecuación no es exacta, buscaríamos un factor integrante adecuado de la misma manera que en la parte \( a \).</p>
Solution to a Differential Equation
题目给出了一个初值问题，微分方程为 \(\frac{dy}{dx} = y - 2\)，初始条件为 \(y(2) = 3\)。让我们解这个微分方程。 分离变量得到： \[\frac{1}{y-2}dy = dx\] 对两边积分，得到： \[\int\frac{1}{y-2}dy = \int dx\] 得到： \[ln|y-2| = x + C\] 由于 \(ln|y-2|\) 对应的是 \(y-2\) 的绝对值，因此我们需要考虑 \(y-2\) 为正或者为负的情况。但是，由于初始条件 \(y(2) = 3\)，我们可以知道 \(y-2\) 应该是正的。 所以我们现在有： \[ln(y-2) = x + C\] 为了解出常数 \(C\)，我们使用初始条件 \(y(2) = 3\)： \[ln(3-2) = 2 + C\] \[ln(1) = C\] 由于 \(ln(1) = 0\)，我们有 \(C = 0\)。 因此，解为： \[ln(y-2) = x\] 解出 \(y\) 得： \[y-2 = e^x\] \[y = e^x + 2\] 所以正确答案是 (A) \(y = e^x + 2\)。
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