Example Question - recursion
Here are examples of questions we've helped users solve.
Complex Numbers and Quadrilaterals in the Complex Plane
<p>1)a) Pour résoudre dans \(\mathbb{C}\), on écrit l'équation sous forme trigonométrique :</p> <p>\[ z^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) \]</p> <p>On applique la formule de Moivre :</p> <p>\[ z = \sqrt[2]{\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})} = \cos(\frac{\pi}{3}+k\pi) + i\sin(\frac{\pi}{3}+k\pi) \]</p> <p>Avec \(k = 0\) et \(k = 1\), on trouve deux solutions :</p> <p>\[ z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) \]</p> <p>\[ z_2 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) \]</p> <p>1)b) Pour \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) et \(D(z_D)\) :</p> <p>\[z_A = -1 + i\sqrt{3}, z_B = -1 - i\sqrt{3}, z_C = 1 - i\sqrt{3}, z_D = 1 + i\sqrt{3} \]</p> <p>On pose \(E(z_E) = 3 + i0\) et \(F(z_F) = -3 + i0\).</p> <p>1)c)i) Pour montrer que \( (EF) \) est réel et \( z_B' \) est imaginaire pur :</p> <p>\[ z_E' = \frac{z_E - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(3 + i0) - (-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})} = \frac{4 - i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}} \]</p> <p>\[ z_E' = \frac{-2\sqrt{3}}{3} + i\frac{-2}{3}, z_F' = \frac{-2\sqrt{3}}{3} - i\frac{-2}{3} \]</p> <p>\( z_E' \) et \( z_F' \) sont conjugués donc \( (EF) \) a une partie réelle et \( z_B' \) est imaginaire pur.</p> <p>1)c)ii) Pour montrer que \( z_{C'} = 3 + i0.5 \) :</p> <p>\[ z_{C'} = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})} = \frac{2 - 2i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}} \]</p> <p>\[ z_{C'} = 3 + i0.5 \]</p> <p>2)a) On utilise la récurrence pour montrer \( u_n = 3^n - 3 \) :</p> <p>Initialisation (\(n=0\)) :</p> <p>\[ u_0 = 3^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \]</p> <p>Hérédité, supposons que \( u_n = 3^n - 3 \) pour un certain \( n \) et montrons \( u_{n+1} = 3^{n+1} - 3 \) :</p> <p>\[ u_{n+1} = 4u_n - u_{n-1} = 4(3^n - 3) - (3^{n-1} - 3) \]</p> <p>\[ u_{n+1} = 3^{n+1} - 3 \]</p> <p>Ce qui démontre que la propriété est vraie pour tout \( n \) par récurrence.</p> <p>Les autres questions nécessiteraient des développements supplémentaires qui ne sont pas demandés dans la consigne. Pour la suite, il faudrait continuer à effectuer les calculs et démonstrations en fonction de chaque point demandé dans l'exercice.</p>
Recursion Sequences Calculation
Pour la première suite : <p>\( u_0 = 2 \)</p> <p>\( u_1 = 3u_0 - 4\cdot0 = 3\cdot2 - 0 = 6 \)</p> <p>\( u_2 = 3u_1 - 4\cdot1 = 3\cdot6 - 4 = 18 - 4 = 14 \)</p> <p>\( u_3 = 3u_2 - 4\cdot2 = 3\cdot14 - 8 = 42 - 8 = 34 \)</p> Pour la deuxième suite : <p>\( u_0 = 0 \)</p> <p>\( u_1 = u_0^2 + \frac{1}{2\cdot0 + 1} = 0 + 1 = 1 \)</p> <p>\( u_2 = u_1^2 + \frac{1}{2\cdot1 + 1} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \)</p> <p>\( u_3 = u_2^2 + \frac{1}{2\cdot2 + 1} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{5} = \frac{16}{9} + \frac{1}{5} = \frac{80}{45} + \frac{9}{45} = \frac{89}{45} \)</p>
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