Example Question - quadrilaterals
Here are examples of questions we've helped users solve.
Complex Numbers and Quadrilaterals in the Complex Plane
<p>1)a) Pour résoudre dans \(\mathbb{C}\), on écrit l'équation sous forme trigonométrique :</p> <p>\[ z^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) \]</p> <p>On applique la formule de Moivre :</p> <p>\[ z = \sqrt[2]{\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})} = \cos(\frac{\pi}{3}+k\pi) + i\sin(\frac{\pi}{3}+k\pi) \]</p> <p>Avec \(k = 0\) et \(k = 1\), on trouve deux solutions :</p> <p>\[ z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) \]</p> <p>\[ z_2 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) \]</p> <p>1)b) Pour \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) et \(D(z_D)\) :</p> <p>\[z_A = -1 + i\sqrt{3}, z_B = -1 - i\sqrt{3}, z_C = 1 - i\sqrt{3}, z_D = 1 + i\sqrt{3} \]</p> <p>On pose \(E(z_E) = 3 + i0\) et \(F(z_F) = -3 + i0\).</p> <p>1)c)i) Pour montrer que \( (EF) \) est réel et \( z_B' \) est imaginaire pur :</p> <p>\[ z_E' = \frac{z_E - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(3 + i0) - (-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})} = \frac{4 - i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}} \]</p> <p>\[ z_E' = \frac{-2\sqrt{3}}{3} + i\frac{-2}{3}, z_F' = \frac{-2\sqrt{3}}{3} - i\frac{-2}{3} \]</p> <p>\( z_E' \) et \( z_F' \) sont conjugués donc \( (EF) \) a une partie réelle et \( z_B' \) est imaginaire pur.</p> <p>1)c)ii) Pour montrer que \( z_{C'} = 3 + i0.5 \) :</p> <p>\[ z_{C'} = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})} = \frac{2 - 2i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}} \]</p> <p>\[ z_{C'} = 3 + i0.5 \]</p> <p>2)a) On utilise la récurrence pour montrer \( u_n = 3^n - 3 \) :</p> <p>Initialisation (\(n=0\)) :</p> <p>\[ u_0 = 3^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \]</p> <p>Hérédité, supposons que \( u_n = 3^n - 3 \) pour un certain \( n \) et montrons \( u_{n+1} = 3^{n+1} - 3 \) :</p> <p>\[ u_{n+1} = 4u_n - u_{n-1} = 4(3^n - 3) - (3^{n-1} - 3) \]</p> <p>\[ u_{n+1} = 3^{n+1} - 3 \]</p> <p>Ce qui démontre que la propriété est vraie pour tout \( n \) par récurrence.</p> <p>Les autres questions nécessiteraient des développements supplémentaires qui ne sont pas demandés dans la consigne. Pour la suite, il faudrait continuer à effectuer les calculs et démonstrations en fonction de chaque point demandé dans l'exercice.</p>
Systematizing Quadrilaterals Based on Side Length Ratios
Aufgabe 15 bittet Sie, verschiedene Möglichkeiten zu nennen, wie Vierecke systematisiert werden können, und schlägt vor, eine Systematisierung der Vierecke nach Seitenlängenverhältnissen zu übernehmen. Denken Sie an die unterschiedlichen Eigenschaften von Vierecken, wie zum Beispiel parallele Seiten, Winkel, Diagonalen, Symmetrie und Seitenlängen. Sie können beginnen, indem Sie grundlegende Kategorien wie Quadrate, Rechtecke, Parallelogramme, Trapeze und Rhomben betrachten. Jede dieser Kategorien könnte dann weiter nach spezifischeren Kriterien wie der Gleichheit der Seiten, Winkeln oder der Parallelität gegenüberliegender Seiten unterteilt werden. Zum Beispiel: 1. Quadrat - vier gleiche Seitenlängen, vier rechte Winkel. 2. Rechteck - gegenüberliegende Seiten sind gleich lang, vier rechte Winkel. 3. Rhombus (Raute) - vier gleiche Seitenlängen, nicht notwendigerweise rechte Winkel. 4. Parallelogramm - gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang, gegenüberliegende Winkel sind gleich. 5. Trapez - mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel. Diese Kategorisierungen helfen dabei, die Eigenschaften und Beziehungen zwischen verschiedenen Vierecken aufzuzeigen und können als ein Ansatz dienen, ihre Merkmale systematisch zu erläutern.
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