Example Question - binomial coefficients
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Probabilities in a Binomial Distribution
Étape 1 : Représenter la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres. X suit une loi binomiale B(n, p) avec : n = 3 (le nombre de questions dans le QCM) p = 1/2 (la probabilité de répondre correctement à une question, puisque la réponse est aléatoire et qu'il y a deux réponses possibles, une juste et l'autre fausse). Étape 2 : Calculer la probabilité d'avoir exactement 2 réponses justes. P(X = 2) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) où C(n, k) est le coefficient binomial qui représente le nombre de combinaisons de n éléments pris k à k. P(X = 2) = C(3, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(3-2) P(X = 2) = 3 * 1/4 * 1/2 P(X = 2) = 3/8 Étape 3 : Calculer la probabilité d'avoir au moins 2 réponses justes. P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) Pour P(X = 3) : P(X = 3) = C(3, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(3-3) P(X = 3) = 1 * 1/8 * 1 P(X = 3) = 1/8 Donc, P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) P(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8 P(X ≥ 2) = 4/8 P(X ≥ 2) = 1/2
Simplifying Expressions with Binomial Coefficients
La expresión que se te ha dado para reducir es: \[ E = C^7_{20} + C^8_{20} + C^{12}_{21} \] Para resolver esto, necesitamos recordar las propiedades de los coeficientes binomiales. Existe una relación entre los coeficientes binomiales que dice lo siguiente: \[ C^n_k = C^{n}_{k-1} + C^{n-1}_{k-1} \] En otras palabras, un coeficiente binomial se puede expresar como la suma de dos coeficientes binomiales que están un nivel arriba en el triángulo de Pascal. Usando esta propiedad, por ejemplo, podemos reducir \( C^8_{20} \) como: \[ C^8_{20} = C^{20-1}_{8} + C^{20-1}_{8-1} \] \[ C^8_{20} = C^{19}_{8} + C^{19}_{7} \] Pero observa que en la expresión original, también tenemos el término \( C^7_{20} \). Este es uno de los términos a los que hemos reducido \( C^8_{20} \). Por lo tanto, podemos sumar esos dos términos juntos. Ahora, revisemos el último término \( C^{12}_{21} \). Uno de los términos de su expansión será \( C^{20}_{12} \), que es el complemento de \( C^8_{20} \) ya que \( 8 + 12 = 20 \). Entonces, aplicando estas propiedades y relaciones: \[ E = C^7_{20} + C^8_{20} + C^{12}_{21} \] \[ E = C^7_{20} + (C^{19}_{8} + C^{19}_{7}) + C^{12}_{21} \] \[ E = (C^7_{20} + C^{19}_{7}) + C^{19}_{8} + C^{12}_{21} \] Observa que \( C^{19}_{7} \) es igual a \( C^7_{20} \) porque \( C^n_k = C^n_{n-k} \). Por lo tanto, podemos combinar esos términos. \[ E = 2C^7_{20} + C^{19}_{8} + C^{12}_{21} \] Ahora, el término \( C^{19}_{8} \) es igual a \( C^{12}_{20} \), ya que \( 8+12 = 20 \). Y observe que \( C^{12}_{20} \) es el complemento de \( C^{12}_{21} \) porque \( C^n_k = C^{n+1}_{k} - C^{n}_{k-1} \). Entonces, usando la propiedad del complemento, tenemos: \[ C^{12}_{21} = C^{20}_{12} + C^{20}_{11} \] \[ C^{12}_{21} = C^{19}_{8} + C^{20}_{11} \] Reemplazamos \( C^{12}_{21} \) con \( C^{19}_{8} + C^{20}_{11} \) en nuestra suma original \( E \): \[ E = 2C^7_{20} + C^{19}_{8} + (C^{19}_{8} + C^{20}_{11}) \] Combinamos los términos semejantes: \[ E = 2C^7_{20} + 2C^{19}_{8} + C^{20}_{11} \] Esto es lo más simplificado que podemos hacer sin valores numéricos específicos para cada coeficiente binomial.
Combinatorics: Understanding Binomial Coefficients
Diese Frage bezieht sich auf die Kombinatorik, speziell auf Binomialkoeffizienten. Die Binomialkoeffizienten, bekannt als "n über k" oder "n choose k", sind ein Maß dafür, auf wie viele verschiedene Arten k Objekte aus einer Gruppe von n unterschiedlichen Objekten ausgewählt werden können. a) Hier sehen wir die Gleichung \( \binom{10}{3} = \binom{10}{7} \). In Worten ausgedrückt, zeigt diese Gleichung, dass es genauso viele Möglichkeiten gibt, 3 Objekte aus einer Menge von 10 auszuwählen, wie es Möglichkeiten gibt, 7 Objekte aus derselben Menge auszuwählen. Das liegt daran, dass das Auswählen von 7 Objekten bedeutet, dass man gleichzeitig 3 Objekte nicht auswählt (da 10 - 7 = 3). Daher sind diese beiden Zahlen gleich. b) Hier wird behauptet, dass \( \binom{1}{0} + \binom{1}{1} + \binom{2}{1} + \binom{3}{1} + \binom{4}{1} = 2^4 \). Dies lässt sich mit der binomischen Formel (a + b)^n bestätigen, wobei die Summe der Koeffizienten einer solchen Entwicklung immer 2^n entspricht. Im gegebenen Beispiel steigert sich der Index des Binomialkoeffizienten, und die Summe stellt tatsächlich eine Reihe von Termen in der Entwicklung der binomischen Formel dar (unter der Annahme, dass a=b=1). Folglich ist die Behauptung korrekt, da die Summe der Koeffizienten \( 1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 2^4 = 16 \) ist. c) Die letzte Gleichung \( \binom{100}{2} + 100 = \binom{101}{2} \) kann man mithilfe des Prinzips der kombinatorischen Argumentation überprüfen. Dies würde die Erklärung erfordern, dass das Hinzufügen einer einzelnen Einheit zu einer der Größen auf der linken Seite (addieren wir zum Beispiel eine Einheit zu einem der Elemente, die wir wählen könnten) zu demselben Ergebnis einer Summe führt, wie wenn wir eine zusätzliche Option zur Auswahl hätten (was auf der rechten Seite mit 101 statt 100 der Fall ist). Das bedeutet, dass, wenn wir eine einzelne Einheit zu dem Auswählen von 2 aus 100 hinzufügen, dies dazu führt, dass wir effektiv 2 aus 101 auswählen. Um dies zu verallgemeinern, könnte man sagen, dass allgemein \( \binom{n}{k} + n = \binom{n+1}{k} \) ist, da das Hinzufügen einer zusätzlichen Option (auf der rechten Seite) dem Hinzufügen einer der bereits vorhandenen Optionen auf der linken Seite entspricht. Dies beruht auf einer ähnlichen Logik wie in a). Zur Überprüfung der Behauptung in c) könnten wir die Binomialkoeffizienten explizit ausrechnen und dann vergleichen, aber da die Zahlen recht groß sind, ist eine direkte Berechnung ohne Taschenrechner zeitintensiv. Wenn wir jedoch die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nutzen, können wir bestätigen, dass das Hinzufügen von 100 zu \( \binom{100}{2} \) tatsächlich zum nächsten Binomialkoeffizienten \( \binom{101}{2} \) führt.
Mathematical Identity Verification
Die Aufgabe besteht darin, die angegebenen Gleichungen zu überprüfen und, falls sie korrekt sind, eine Verallgemeinerung für die behaupteten Identitäten anzugeben. Ich werde nun jede Gleichung einzeln überprüfen und entsprechend verallgemeinern. 1) \(\binom{49}{2} + \binom{49}{1} = \binom{50}{2}\) Zuerst prüfen wir die Identität mit den konkreten Zahlen nach: \(\binom{49}{2} = \frac{49 \cdot 48}{2 \cdot 1} = \frac{49 \cdot 24}{1}\) \(\binom{49}{1} = 49\) \(\binom{50}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2 \cdot 1} = \frac{25 \cdot 49}{1}\) Addiert man nun \(\frac{49 \cdot 24}{1}\) und \(49\), erhält man \(\frac{49 \cdot 25}{1}\), was gleich \(\binom{50}{2}\) ist. Somit ist die angegebene Identität korrekt. Verallgemeinerung: \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}\) 2) \(\binom{5}{3} + 31 = 5^4 - \binom{5}{3}\) Wir berechnen zuerst die beiden Seiten der Gleichung: \(\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\) \(5^4 = 625\) Setzen wir nun die Werte ein: \(10 + 31 = 625 - 10\) \(41 = 615\) Da 41 nicht gleich 615 ist, ist die behauptete Identität falsch und kann somit nicht verallgemeinert werden. 3) \(2 \cdot \binom{7}{3} = \binom{7}{1} + \binom{7}{2} + \binom{7}{3} + \binom{7}{3}\) Die rechte Seite der Gleichung enthält zweimal den Term \(\binom{7}{3}\), wir können also schreiben: \(2 \cdot \binom{7}{3} = \binom{7}{1} + \binom{7}{2} + 2 \cdot \binom{7}{3}\) Wir berechnen die Binomialkoeffizienten: \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\) \(\binom{7}{1} = 7\) \(\binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\) Setzen wir diese Werte ein: \(2 \cdot 35 = 7 + 21 + 2 \cdot 35\) Nun vereinfachen wir: \(70 = 28 + 70\) Da \(70 \neq 28 + 70\), ist die behauptete Identität ebenfalls falsch und kann nicht verallgemeinert werden.
Binomial Equation Simplification
이 이미지에는 중학교 수학 문제 같습니다. 방정식 시퀀스를 단순화하는 문제입니다. 주어진 식들을 단순화하면 다음과 같습니다. 1. \(a_0C_0 + a_1C_1 + a_2C_2 + \ldots + a_nC_n\) 이 식은 이항 정리의 일반 항에서의 계수와 같은 형태입니다. 여기서 \(a_k\)는 상수일 수 있고, \(C_k\)는 \(n\)개 중 \(k\)를 선택하는 조합, 즉 \(nCk\)를 의미합니다. \(a_k\)가 모든 \(k\)에 대해 \(1\)이라면, 이 식은 단순히 이항정리의 전개 결과 합과 같아져, \((1+1)^n\)이고, 그 결과는 \(2^n\)이 됩니다. 2. \(a_0C_n - a_1C_{n-1} + a_2C_{n-2} + \ldots + a_nC_0\) 이 식은 조금 더 복잡해 보입니다. 이것은 첫 번째 항과 마지막 항의 지수가 서로 반대되어 있고, 부호가 교대로 바뀌고 있습니다. 이는 \((1-1)^n\)의 전개와 비슷하게 보이며, 이 경우 결과는 \(0\)이 됩니다. 왜냐하면 이는 실제로 \(0^n\)과 같으며, \(n>0\)이면 항상 \(0\)이 되기 때문입니다. 3. \(a_0C_0 + a_1C_2 + a_2C_4 + \ldots + a_nC_{2n}\) 이 식은 지수가 다릅니다. 이 경우 식을 단순화하기 위한 명확한 규칙이 보이지 않습니다. 주어진 정보가 더 필요합니다. 예를 들어, \(a_k\)의 값과 \(n\)의 범위에 따라 결과가 달라질 수 있습니다. 위의 분석은 이항정리에 대한 일반적인 지식을 기반으로 한 것입니다. 주어진 \(a_k\)의 값 또는 \(n\)의 구체적인 범위 없이는 정확한 해답을 제공하기 어렵습니다.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com