Example Question - calculating probabilities
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Probabilities in a Binomial Distribution
Étape 1 : Représenter la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres. X suit une loi binomiale B(n, p) avec : n = 3 (le nombre de questions dans le QCM) p = 1/2 (la probabilité de répondre correctement à une question, puisque la réponse est aléatoire et qu'il y a deux réponses possibles, une juste et l'autre fausse). Étape 2 : Calculer la probabilité d'avoir exactement 2 réponses justes. P(X = 2) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) où C(n, k) est le coefficient binomial qui représente le nombre de combinaisons de n éléments pris k à k. P(X = 2) = C(3, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(3-2) P(X = 2) = 3 * 1/4 * 1/2 P(X = 2) = 3/8 Étape 3 : Calculer la probabilité d'avoir au moins 2 réponses justes. P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) Pour P(X = 3) : P(X = 3) = C(3, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(3-3) P(X = 3) = 1 * 1/8 * 1 P(X = 3) = 1/8 Donc, P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) P(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8 P(X ≥ 2) = 4/8 P(X ≥ 2) = 1/2
Calculating Probabilities with a Spanish Deck of 40 Cards
Vamos a calcular la probabilidad de obtener cada uno de los resultados mencionados en la imagen, sabiendo que extraemos una carta de una baraja española de 40 naipes: a) El as de espadas. En una baraja española, hay un único as de espadas. Por lo tanto, la probabilidad de extraerlo es la relación entre el número de ases de espadas (1) y el número total de cartas en la baraja (40): \[ P(\text{as de espadas}) = \frac{1}{40} \] b) El rey de bastos. Al igual que con el as de espadas, solo hay un rey de bastos en la baraja. Entonces, la probabilidad de extraerlo es: \[ P(\text{rey de bastos}) = \frac{1}{40} \] c) Una figura. En la baraja española, consideramos figuras al sota, caballo y rey de cada palo. Hay cuatro palos y 3 figuras por palo, lo que da un total de 12 figuras en la baraja: \[ P(\text{figura}) = \frac{12}{40} \] \[ P(\text{figura}) = \frac{3}{10} \] d) Una copa. Hay 10 cartas de copas en la baraja, una de cada número del 1 al 10, por lo que la probabilidad de sacar una copa es: \[ P(\text{copa}) = \frac{10}{40} \] \[ P(\text{copa}) = \frac{1}{4} \]
Calculating Probabilities with a Spanish Card Deck
Claro, te ayudaré a calcular la probabilidad de cada uno de los eventos listados utilizando una baraja española. La baraja española estándar tiene 48 cartas con 4 palos: espadas, oros, copas y bastos, y cada palo tiene 12 cartas que incluyen números del 1 al 7 y figuras que son sota (10), caballo (11) y rey (12). Vamos paso a paso: a) Un 5 y un rey: Primero calculamos la probabilidad de sacar un 5, que es \( \frac{4}{48} \) porque hay 4 cincos en la baraja. Luego, la probabilidad de sacar un rey en la segunda carta, considerando que ya se sacó un 5, sería \( \frac{4}{47} \) ya que quedan 4 reyes en una baraja de 47 cartas. Multiplicamos ambas probabilidades: \( P(\text{un 5 y luego un rey}) = \frac{4}{48} \times \frac{4}{47} = \frac{1}{12} \times \frac{4}{47} \) \( P(\text{un 5 y luego un rey}) = \frac{4}{12 \times 47} = \frac{4}{564} \) \( P(\text{un 5 y luego un rey}) = \frac{1}{141} \) b) Dos espadas: Para sacar una espada en la primera carta la probabilidad es \( \frac{12}{48} \), y luego para sacar otra espada es \( \frac{11}{47} \) ya que queda una carta menos y una espada menos. Multiplicando ambas obtenemos: \( P(\text{dos espadas}) = \frac{12}{48} \times \frac{11}{47} \) \( P(\text{dos espadas}) = \frac{1}{4} \times \frac{11}{47} \) \( P(\text{dos espadas}) = \frac{11}{188} \) c) Ninguna copa (ni copa y ni copa): La probabilidad de sacar una carta que no sea copa en la primera es \( \frac{36}{48} \) ya que eliminamos las 12 copas de las 48 totales. Para la segunda carta, sería \( \frac{35}{47} \) porque faltarían 11 copas de las 47 cartas restantes. Multiplicamos las probabilidades: \( P(\text{ninguna copa}) = \frac{36}{48} \times \frac{35}{47} \) \( P(\text{ninguna copa}) = \frac{3}{4} \times \frac{35}{47} \) \( P(\text{ninguna copa}) = \frac{105}{188} \) d) Dos figuras (sota, caballo o rey): Hay 4 cartas de cada figura por palo, lo que nos da un total de 12 cartas de figuras en la baraja. La probabilidad de sacar una figura en la primera carta es \( \frac{12}{48} \), y para la segunda carta es \( \frac{11}{47} \), multiplicamos: \( P(\text{dos figuras}) = \frac{12}{48} \times \frac{11}{47} \) \( P(\text{dos figuras}) = \frac{1}{4} \times \frac{11}{47} \) \( P(\text{dos figuras}) = \frac{11}{188} \) e) Una figura y una no figura: Aquí hay dos casos: primero sacar una figura y luego una no figura o primero una no figura y luego una figura. Calculamos el primero: \( P(\text{figura y no figura}) = \frac{12}{48} \times \frac{36}{47} \) \( P(\text{figura y no figura}) = \frac{1}{4} \times \frac{36}{47} \) \( P(\text{figura y no figura}) = \frac{36}{188} \) Luego, el segundo caso: \( P(\text{no figura y figura}) = \frac{36}{48} \times \frac{12}{47} \) \( P(\text{no figura y figura}) = \frac{3}{4} \times \frac{12}{47} \) \( P(\text{no figura y figura}) = \frac{36}{188} \) Como ambos casos son equiprobables, la probabilidad total sería la suma de ambos. Entonces: \( P(\text{figura y no figura en total}) = 2 \times \frac{36}{188} \) \( P(\text{figura y no figura en total}) = \frac{72}{188} \) \( P(\text{figura y no figura en total}) = \frac{36}{94} \) Espero que eso te ayude a entender cómo calcular las probabilidades para cada evento con una baraja española.
Calculating Probabilities with Replacement and Without Replacement
Claro, vamos a resolver paso a paso cada una de las probabilidades indicadas en la imagen: a) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas, con reposición. Hay 4 bolas rojas de 24. Al ser con reposición, la probabilidad de sacar una bola roja en cada intento es la misma. Por lo tanto, la probabilidad de sacar una bola roja es \( \frac{4}{24} \) o \( \frac{1}{6} \). La probabilidad de sacar una bola roja en el primer intento y luego otra vez en el segundo intento (ya que se reemplaza la primera bola antes de sacar la segunda) es: \( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \). b) La probabilidad de que las dos bolas sean azules, sin reposición. En este caso, hay un total de 7 bolas azules y 24 bolas en total. La probabilidad de sacar una bola azul en la primera extracción es \( \frac{7}{24} \). Tras sacar una bola azul, solo quedan 6 bolas azules y 23 bolas en total. Por tanto, la probabilidad de sacar otra bola azul es \( \frac{6}{23} \). Multiplicamos ambas probabilidades para obtener la probabilidad final de ambos eventos: \( \frac{7}{24} \times \frac{6}{23} = \frac{42}{552} = \frac{7}{92} \). c) La probabilidad de que la primera bola sea azul y la segunda verde, con reposición. La probabilidad de sacar una bola azul es \( \frac{7}{24} \), y la de sacar una bola verde después de reponer la primera bola es \( \frac{8}{24} \) o \( \frac{1}{3} \), ya que la composición de la bolsa sigue siendo la misma. La probabilidad conjunta es: \( \frac{7}{24} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{72} \). d) La probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda negra, sin reposición. La probabilidad de sacar una bola roja primero es \( \frac{4}{24} \) o \( \frac{1}{6} \). Una vez que una bola roja ha sido sacada, nos quedan 23 bolas, de las cuales, según la información, \( 24 - (4 + 7 + 8) = 5 \) son negras. Entonces, la probabilidad de sacar una bola negra después de haber sacado una roja es \( \frac{5}{23} \). Multiplicamos ambas probabilidades para obtener la probabilidad final: \( \frac{1}{6} \times \frac{5}{23} = \frac{5}{138} \). Estas son las probabilidades requeridas para cada uno de los escenarios dados.
Calculating Probabilities with Colored Balls
Claro, primero vamos a identificar la cantidad total de bolas y las cantidades específicas de cada color según la información proporcionada en la imagen: - Total de bolas: 24 - Bolas rojas: 4 - Bolas azules: 7 - Bolas verdes: 8 - Bolas negras: 5 (el resto hasta completar las 24 bolas) Ahora, resolvamos cada inciso: a) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas, con reposición. Como es con reposición, la probabilidad no cambia entre los intentos. La probabilidad de sacar una bola roja en cada intento es 4/24 o 1/6. Como son eventos independientes, multiplicamos las probabilidades individuales: \( P(\text{roja y roja}) = P(\text{roja}) \times P(\text{roja}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \) b) La probabilidad de que las dos bolas sean azules, sin reposición. Sin reposición, la probabilidad cambia después del primer evento. La probabilidad de sacar una bola azul primero es 7/24 y después 6/23 (pues ya hay una menos y no se repone): \( P(\text{azul y azul}) = P(\text{azul primero}) \times P(\text{azul segundo}) = \frac{7}{24} \times \frac{6}{23} \) Haciendo la multiplicación: \( P(\text{azul y azul}) = \frac{7}{24} \times \frac{6}{23} = \frac{42}{552} = \frac{7}{92} \) c) La probabilidad de que la primera bola sea azul y la segunda verde, con reposición. Al igual que en el inciso a), cada evento es independiente porque es con reposición. Entonces: \( P(\text{azul y verde}) = P(\text{azul}) \times P(\text{verde}) = \frac{7}{24} \times \frac{8}{24} \) Calculamos esa probabilidad: \( P(\text{azul y verde}) = \frac{7}{24} \times \frac{8}{24} = \frac{56}{576} = \frac{7}{72} \) d) La probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda negra, sin reposición. Sin reposición, quitamos una bola del total después del primer evento. La probabilidad de sacar una bola roja primero es 4/24 y después la probabilidad de sacar una negra es 5/23: \( P(\text{roja y negra}) = P(\text{roja primero}) \times P(\text{negra segundo}) = \frac{4}{24} \times \frac{5}{23} \) Calculamos esa probabilidad: \( P(\text{roja y negra}) = \frac{4}{24} \times \frac{5}{23} = \frac{20}{552} = \frac{5}{138} \) Esas son las probabilidades para cada una de las situaciones descritas en el problema.
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