Example Question - binomial distribution
Here are examples of questions we've helped users solve.
Understanding the Null Hypothesis in Probability of Gender Distribution
<p>The null hypothesis states that each child has an equal chance of being a girl, which is a probability of 0.5. Since there are four children, the probability that all children are girls or all are boys (the two extreme cases) is $0.5^4 = 0.0625$ for each case. Together, the probability for either all girls or all boys is $0.0625 + 0.0625 = 0.125$, hence $H_0: p = 0.125$.</p> <p>The test statistic for a proportion is $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$ where $\hat{p}$ is the sample proportion, $p_0$ is the hypothesized population proportion, and $n$ is the sample size.</p> <p>Here, $\hat{p} = \frac{21}{120}$, $p_0 = 0.125$, and $n = 120$. So:</p> <p>$Z = \frac{\frac{21}{120} - 0.125}{\sqrt{\frac{0.125(1-0.125)}{120}}}$</p> <p>Compute the Z-value and then compare it to the critical value for a one-tailed test at the 10% significance level, which is $Z = 1.28$ for $Z > 0$ (looking at a standard Z-table and finding the value corresponding to 0.9 since it is one-tailed).</p> <p>If the calculated $Z$-value is greater than the critical value, we reject the null hypothesis. Otherwise, we do not reject the null hypothesis.</p>
Calculating Probabilities in a Binomial Distribution
Étape 1 : Représenter la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres. X suit une loi binomiale B(n, p) avec : n = 3 (le nombre de questions dans le QCM) p = 1/2 (la probabilité de répondre correctement à une question, puisque la réponse est aléatoire et qu'il y a deux réponses possibles, une juste et l'autre fausse). Étape 2 : Calculer la probabilité d'avoir exactement 2 réponses justes. P(X = 2) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) où C(n, k) est le coefficient binomial qui représente le nombre de combinaisons de n éléments pris k à k. P(X = 2) = C(3, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(3-2) P(X = 2) = 3 * 1/4 * 1/2 P(X = 2) = 3/8 Étape 3 : Calculer la probabilité d'avoir au moins 2 réponses justes. P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) Pour P(X = 3) : P(X = 3) = C(3, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(3-3) P(X = 3) = 1 * 1/8 * 1 P(X = 3) = 1/8 Donc, P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) P(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8 P(X ≥ 2) = 4/8 P(X ≥ 2) = 1/2
Calculating Expected Fraud Reports in a Binomial Distribution
1. Le paramètre de la loi binomiale est \( n = 500 \) et \( p = 3.7\% \) ou \( p = 0.037 \) pour \( X \). 2. Le nombre moyen de personnes contrôlées qui seront signalées en fraude est l'espérance de la loi binomiale, \( E(X) = np = 500 \times 0.037 = 18.5 \).
Calculating Conditional Probabilities
D'accord, cet exercice concerne la probabilité conditionnelle. Il y a plusieurs points à résoudre, donc je vais répondre chaque partie séparément. 1) Pour trouver la probabilité qu'une pièce soit défectueuse, on doit tenir compte des pièces bonnes qui sont incorrectement refusées et des pièces défectueuses qui sont correctement identifiées comme telles. Nous avons les informations suivantes : - La probabilité qu'une pièce bonne soit acceptée est de 0,97. - La probabilité qu'une pièce mauvaise soit refusée est de 0,99. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse ou bonne n'est pas directement donnée, donc je vais supposer qu'elle doit être déduite des informations données. Généralement, une telle question serait accompagnée d'informations sur la probabilité a priori qu'une pièce soit défectueuse. Mais comme ce n'est pas le cas, je ne peux pas calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sans cette donnée. Cependant, si on avait cette probabilité, disons P(D), où D signifie "défectueux", et P(B) la probabilité qu'une pièce soit bonne, la réponse serait P(D) + P(B)*(1-0.97) pour ajouter la probabilité des bons rejets. 2a) Pour calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse et acceptée, on utilise : P(défectueuse et acceptée) = P(défectueuse) * P(acceptée | défectueuse) Ici, nous devons trouver P(acceptée | défectueuse), qui est l'inverse de la probabilité qu'une pièce défectueuse soit refusée (complément à 1 de 0,99), donc : P(acceptée | défectueuse) = 1 - P(refusée | défectueuse) = 1 - 0,99 = 0,01. Maintenant, nous avons besoin de la probabilité a priori qu'une pièce soit défectueuse P(défectueuse), disons que c'est P(D). Si on connait P(D), la réponse est alors : P(D) * 0,01. 2b) De même, pour calculer la probabilité qu'une pièce soit bonne et rejetée, on utilise : P(bonne et rejetée) = P(bonne) * P(rejetée | bonne) Et ici on connaît P(rejetée | bonne), c'est le complément de la probabilité qu'une pièce bonne soit acceptée : P(rejetée | bonne) = 1 - P(acceptée | bonne) = 1 - 0,97 = 0,03. Encore une fois, on a besoin de P(bonne), disons que c'est P(B). Si on connait P(B), la réponse serait alors : P(B) * 0,03. 3) Pour le calcul de la probabilité qu'il y ait exactement deux erreurs en cinq contrôles, on utilisera la distribution binomiale. La formule générale pour deux succès (dans ce cas, deux erreurs) en n essais est: P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k) où (n choose k) est le coefficient binomial, p est la probabilité de succès (erreur dans le contrôle) et (1-p) est la probabilité d'échec (pas d'erreur). Pour appliquer cette formule, nous aurions besoin de la probabilité d'erreur d'un seul contrôle, disons p(e). Supposons qu'on dispose de cette probabilité, avec n=5 et k=2 (deux erreurs), la formule serait : P(X=2) = (5 choose 2) * p(e)^2 * (1-p(e))^(5-2) Notez que sans les valeurs spécifiques de P(D) et p(e), je ne peux pas calculer les probabilités exactes pour les questions posées.
Understanding the Binomial Distribution in Probability Theory
The image contains a question in French about probability. The question translates to: "We know from experience that a certain surgical operation has a 95% chance of success. We are about to perform this operation on 6 patients. Let X be the random variable equal to the number of successful operations out of the 6 attempts. 1) What is the law followed by X?" The law followed by X is the binomial distribution. This is because the binomial distribution is applicable for a fixed number of independent trials (in this case, 6), where each trial has only two possible outcomes (success or failure), and the probability of success is the same for each trial. In mathematical terms, if \( p \) is the probability of success for each trial, \( n \) is the number of trials, and \( k \) is the number of successes, the probability \( P(X = k) \) is given by: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \] For this particular case: - \( n = 6 \) (the number of patients), - \( p = 0.95 \) (the probability of success for the surgical operation), - \( k \) can be any integer from 0 to 6 (the number of successful operations). So the random variable \( X \) representing the number of successful operations follows a binomial distribution with parameters \( n = 6 \) and \( p = 0.95 \).
Applicability of Normal Approximation in Statistics Assignment
The image shows a question from a statistics assignment, which reads: "About 41% of employed adults in the United States hold multiple jobs. A random sample of 78 employed adults is chosen. Use the TI-84 Plus calculator as needed. Part 1 of 5: Is it appropriate to use the normal approximation to find the probability that less than 65% of the individuals in the sample hold multiple jobs? If not, find the probability. If not, explain why not." To determine if it is appropriate to use the normal approximation for the binomial distribution, we often use the rule of thumb that the sample size (n) is large enough if both np and n(1-p) are greater than 5. Let's check these conditions using the data provided: n = number of trials = 78 (the sample size) p = probability of success = 0.41 (probability that an individual holds multiple jobs) q = 1 - p = 0.59 (probability that an individual does not hold multiple jobs) Calculating np and nq: np = 78 * 0.41 ≈ 31.98 nq = 78 * 0.59 ≈ 46.02 Both np and nq are greater than 5, thus satisfying the rule of thumb for the normal approximation to be used. Hence, it is appropriate to use the normal approximation to find the probability in question. The next steps in the calculation would involve finding the mean, μ = np, and the standard deviation, σ = sqrt(npq), and then using these to find the probability that less than 65% of the individuals in the sample hold multiple jobs using a z-score. Since the question is part of a series and requires the use of a TI-84 Plus calculator, further calculations might be needed to complete the assignment as directed. However, we have established that it is indeed appropriate to use the normal approximation for this problem.
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