Example Question - trigonometric expression
Here are examples of questions we've helped users solve.
Resolution of Trigonometric Expression
Claro, vamos a resolver la expresión matemática que aparece en la imagen: La expresión es: \[ sin(40°) \cdot cos(10°) - 10° \cdot cos(40°) \] Para resolver esta expresión, necesitamos aplicar fórmulas de ángulos notables y propiedades de las funciones trigonométricas. Sin embargo, hay un pequeño error en la expresión: la multiplicación de "10°" por "cos(40°)" no tiene sentido desde el punto de vista matemático, ya que "10°" es una medida angular y no puede multiplicarse de manera directa por la función trigonométrica "cos()". Probablemente se trata de un error de tipografía o interpretación. Si lo interpretamos de esta manera: \[ sin(40°) \cdot cos(10°) - \cancel{10°} \cdot cos(40°) \] Donde solamente ignoramos el "10°", la expresión a resolver sería: \[ sin(40°) \cdot cos(10°) - cos(40°) \] Usando las relaciones de ángulos complementarios, \( sin(40°) \) es igual a \( cos(50°) \), y dicha relación puede ser aplicada para convertir seno a coseno en ángulos que sumados dan 90 grados. Así que nuestra expresión se transformaría en: \[ cos(50°) \cdot cos(10°) - cos(40°) \] No obstante, sin una identidad trigonométrica que nos permita simplificar directamente esta expresión, necesitaríamos usar una calculadora para obtener el valor numérico de los cosenos y realizar la operación. Multiplique los valores correspondientes de \(cos(50°)\) y \(cos(10°)\), y sustráigalos del valor de \(cos(40°)\). Si prefieres, puedes proporcionar más información o corregir la fórmula para poder asistirte con la solución correcta.
Solving Trigonometric Expression with Double Angle Formula
Para resolver esta expresión, primero podemos hacer uso de la fórmula de las funciones trigonométricas para el ángulo doble. La fórmula para el seno del ángulo doble es la siguiente: \[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \] Podemos utilizar esta fórmula al reescribir la expresión dada como: \[ \sin(40°)\cos(10°) - 10°\cos(40°) \] Vamos a usar la fórmula del seno del ángulo doble identificando \(\theta\) con nuestro ángulo de 20°, tal que \(2\theta = 40°\). Así que, usando esta identificación tenemos: \[ 2\sin(20°)\cos(20°) \] Dividimos toda la expresión entre 2 para tener algo que se parezca al término dado: \[ \sin(40°) = 2\sin(20°)\cos(20°) \] \[ \frac{\sin(40°)}{2} = \sin(20°)\cos(20°) \] Ahora podemos escribir \(\sin(20°)\cos(20°)\) como \(\frac{\sin(40°)}{2}\) y tendremos: \[ \sin(40°)\cos(10°) = 2\left(\frac{\sin(40°)}{2}\right)\cos(10°) \] \[ \sin(40°)\cos(10°) = \sin(40°)\cos(10°) \] Esto nos indica que nuestra expresión original puede simplificarse usando la identidad del ángulo doble. Sin embargo, hay un error en la segunda parte de la expresión original, la cual tiene un \(10°\) que no parece tener sentido en un contexto trigonométrico estándar; probablemente sea un error tipográfico o una malinterpretación de la pregunta. En un contexto matemático correcto, esperaríamos ver una función o expresión trigonométrica, no un número multiplicando una función de manera aislada. Si asumimos que el \(10°\) es en realidad un término que debería estar dentro de una función trigonométrica o es un error y debe ser omitido, entonces podríamos proceder, pero sin más contexto o información correcta, no podemos resolver la expresión tal como está presentada. Por favor, verifica el problema y proporciona la expresión correcta.
Simplification of Trigonometric Expression using Angle Sum Formula
Para resolver la expresión \( \frac{\cos(a + b)}{\cos(a) \sin(b)} \), podemos utilizar la fórmula del coseno del ángulo suma, la cual es: \( \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \) Sustituimos \( \cos(a+b) \) en la expresión original: \( \frac{\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)}{\cos(a) \sin(b)} \) Ahora, separamos la fracción en dos términos: \( \frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a) \sin(b)} - \frac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a) \sin(b)} \) Simplificamos cada término por separado: \( \frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a) \sin(b)} = \frac{\cos(b)}{\sin(b)} \) \( \frac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a) \sin(b)} = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \) Por lo tanto: \( \frac{\cos(b)}{\sin(b)} - \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \) Estos resultados se pueden expresar también en términos de las funciones tangente y cotangente: \( \cot(b) - \tan(a) \) Así que la expresión original se simplifica a: \( \cot(b) - \tan(a) \) Ese es el resultado de la expresión original simplificada utilizando identidades trigonométricas.
Solving a Trigonometric Expression Using Angle Sum Identities
La expresión dada en la imagen es: \[ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} \] Para resolver esta expresión, podemos usar las identidades trigonométricas del coseno del ángulo suma. La fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos es la siguiente: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \] Sustituimos esta fórmula en el numerador de la expresión original: \[ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} \] Ahora podemos separar la fracción en dos términos: \[ = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \] En el primer término, \(\cos(\alpha)\) se cancela en el numerador y en el denominador, lo que nos deja con: \[ = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \] El primer término es simplemente la cotangente de \(\beta\), y en el segundo término, \(\sin(\beta)\) se cancela: \[ = \cot(\beta) - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] El segundo término es la tangente de \(\alpha\), pero como está en el denominador, se convierte en la cotangente de \(\alpha\). Por lo tanto, la expresión final es: \[ = \cot(\beta) - \tan(\alpha) \] O lo que es lo mismo, pero usando la notación de cotangente: \[ = \cot(\beta) - \cot(\beta)^{-1} \]
Solving Trigonometric Expression
El problema que se muestra en la imagen pide calcular el valor de la expresión \(\sin(40°) \cos(10°) - 10^0 \cos(40°)\). Primero, debemos simplificar 10^0. Cualquier número elevado a la potencia de 0 es igual a 1. Entonces tenemos: \(\sin(40°) \cos(10°) - 1 \cdot \cos(40°)\) Ahora, sustituimos este resultado para simplificar la expresión original: \(\sin(40°) \cos(10°) - \cos(40°)\) Dado que no tengo una calculadora a mano para realizar estas operaciones, utilizaré las identidades de reducción y las relaciones trigonométricas fundamentales para simplificar la expresión. Sabemos que \(\cos(90° - \theta) = \sin(\theta)\), entonces \(\cos(10°) = \sin(80°)\). Ahora podemos reescribir la expresión usando la identidad \(\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\): \(\sin(40°) \sin(80°) - \cos(40°) = \frac{1}{2} [\sin(120°) + \sin(0°)] - \cos(40°)\) Simplificando aún más, sabemos que \(\sin(120°)\) es \(\sqrt{3}/2\) y \(\sin(0°)\) es 0, entonces: \(\frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 0\right) - \cos(40°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \cos(40°)\) Sin una calculadora y sin valores exactos conocidos para \(\cos(40°)\), no se puede simplificar la expresión a un valor numérico exacto. En conclusión, el resultado de la expresión \(\sin(40°) \cos(10°) - \cos(40°)\), sin una calculadora, se simplifica a \(\frac{\sqrt{3}}{4} - \cos(40°)\). Para obtener un valor numérico, se necesitaría calcular o buscar el valor de \(\cos(40°)\).
Solving Trigonometric Expression using Angle Difference Identity
Claro, vamos a resolver la expresión matemática que se presenta: El valor de sin(55°) * cos(10°) - cos(55°) * sin(10°) Para esto podemos usar la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos, que dice lo siguiente: sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) Si se desea calcular la diferencia entre dos ángulos, la identidad sería: sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) Nuestra expresión es semejante a la segunda identidad. Si tomamos a = 55° y b = 10°, nuestra expresión es exactamente igual al lado derecho de la identidad trigonométrica para la resta de dos ángulos. Esto significa que la expresión puede reescribirse como: sin(55° - 10°) Que simplificamos como: sin(45°) Y sabemos que sin(45°) es una medida trigonométrica muy conocida y es igual a: sin(45°) = √2/2 Por lo tanto, el valor de la expresión dada es √2/2.
Calculating Limit of a Trigonometric Expression
Para encontrar el límite de la expresión \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^3 x}}{{x^2}}\), podemos utilizar la conocida regla del límite: \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1\). Sin embargo, la expresión que tenemos es un poco diferente y tenemos que ajustarla para poder aplicar directamente esta regla. Primero, podemos reescribir el seno al cubo como \((\sin x)^3\). Entonces, la expresión queda como \((\sin x)^3/x^2\), lo cual puede ser escrita como \((\sin x/x)^2 \cdot \sin x\). Ahora aplicamos la regla mencionada: \[\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1\] Utilizamos esto para calcular el valor del límite: \[\lim_{{x \to 0}} (\frac{{\sin x}}{{x}})^2 \cdot \sin x = (\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}})^2 \cdot (\lim_{{x \to 0}} \sin x)\] Sustituimos los límites conocidos: \[= 1^2 \cdot 0\] Así que el resultado del límite es: \[= 0\] Por lo tanto, el valor del límite es 0.
Simplifying Trigonometric Expression
To solve the expression, we need to simplify it by using trigonometric identities where possible. The expression is: \[ \frac{\csc(x)}{1 - \cos^2(x)} - \csc^3(x) \] We can recognize that \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\), and using the Pythagorean identity \(1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)\), we can rewrite the first term: \[ \frac{\csc(x)}{1 - \cos^2(x)} = \frac{\frac{1}{\sin(x)}}{\sin^2(x)} = \frac{1}{\sin^3(x)} \] Now we rewrite \(\csc^3(x)\) as: \[ \csc^3(x) = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^3 = \frac{1}{\sin^3(x)} \] With these substitutions, the expression simplifies to: \[ \frac{1}{\sin^3(x)} - \frac{1}{\sin^3(x)} \] Now it is clear that both terms are the same and they cancel each other out. Thus, the simplified expression equals zero. \[ \frac{\csc(x)}{1 - \cos^2(x)} - \csc^3(x) = 0 \]
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