Question - Calculating Limit of a Trigonometric Expression
Solution:
Para encontrar el límite de la expresión $$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^3 x}}{{x^2}}$$, podemos utilizar la conocida regla del límite: $$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1$$. Sin embargo, la expresión que tenemos es un poco diferente y tenemos que ajustarla para poder aplicar directamente esta regla.Primero, podemos reescribir el seno al cubo como $$(\sin x)^3$$. Entonces, la expresión queda como $$(\sin x)^3/x^2$$, lo cual puede ser escrita como $$(\sin x/x)^2 \cdot \sin x$$.Ahora aplicamos la regla mencionada:\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1\]Utilizamos esto para calcular el valor del límite:\[\lim_{{x \to 0}} (\frac{{\sin x}}{{x}})^2 \cdot \sin x = (\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}})^2 \cdot (\lim_{{x \to 0}} \sin x)\]Sustituimos los límites conocidos:\[= 1^2 \cdot 0\]Así que el resultado del límite es:\[= 0\]Por lo tanto, el valor del límite es 0.
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