Example Question - sum of consecutive numbers
Here are examples of questions we've helped users solve.
Understanding Factors of Staircase Numbers
Auf dem Bild wird gefragt, warum Zahlen mit ungeraden Teilern sich als Treppenzahl darstellen lassen. Es gibt zwei Aussagen zu begründen: a. Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler. b. Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen geraden Teiler. Um diese Aussagen zu begründen, müssen wir uns zuerst klarmachen, was eine Treppenzahl ist. Eine Treppenzahl ist eine Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, zum Beispiel 1 + 2 + 3 + ... + n. Die Summe dieser Zahlen kann man formell als n(n + 1)/2 ausdrücken. a. Wenn eine Treppenzahl eine ungerade Anzahl n an Stufen hat, dann ist n ungerade. Da n und n + 1 aufeinander folgen, muss einer der beiden Terme gerade sein und der andere ungerade. In diesem Fall ist n ungerade, daher ist n + 1 gerade. Wenn man jetzt n(n + 1)/2 berechnet, kürzt sich die 2 im Nenner mit n + 1 (weil es gerade ist), und das Ergebnis ist ein Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl. Weil eine gerade Zahl durch 2 teilbar ist, bleibt das Produkt eine ungerade Zahl, was bedeutet, dass die Treppenzahl in diesem Fall mindestens einen ungeraden Teiler hat – nämlich die ungerade Zahl n. b. Wenn eine Treppenzahl eine gerade Anzahl m an Stufen hat, dann ist m gerade. Wir haben wieder, dass m und m + 1 aufeinanderfolgende Zahlen sind, also ist dieses Mal m gerade und m + 1 ungerade. Die Summenformel lautet m(m + 1)/2. Hierbei wird die 2 im Nenner durch m geteilt, da m gerade ist. Das Ergebnis ist das Produkt einer ungeraden Zahl (m + 1) und der Hälfte einer geraden Zahl (m/2), was eine ganze Zahl ist. Das gesamte Produkt muss demnach gerade sein, was bedeutet, dass die Treppenzahl einen geraden Teiler hat. Somit haben wir gezeigt, dass Treppenzahlen mit ungeraden Stufenanzahlen ungerade Teiler haben und Treppenzahlen mit geraden Stufenanzahlen gerade Teiler haben.
Understanding Staircase Numbers in Mathematics
Die Frage bezieht sich auf eine mathematische Eigenschaft, die als "Treppenzahlen" oder "Stufen" beschrieben wird. Hier wird nach Zahlen gefragt, die sich als 7er-Treppe darstellen lassen, also eine Treppe, die aus 5 Stufen besteht und dabei mit der Zahl 7 beginnt. Um zu beurteilen, welche Zahlen sich so darstellen lassen, müssen wir die Zahlenfolge bilden, die beginnend mit der Zahl 7 in Schritten von 1 bis zur fünften Stufe fortschreitet: 1. Stufe: 7 2. Stufe: 7 + 1 = 8 3. Stufe: 7 + 2 = 9 4. Stufe: 7 + 3 = 10 5. Stufe: 7 + 4 = 11 Um eine Zahl als "Treppenzahl" darzustellen, können wir die Gesamtsumme dieser Stufen nehmen: Summe = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 45 Die Summe ergibt 45. Daher ist 45 eine Zahl, die sich als 7er-Treppe mit 5 Stufen darstellen lässt. Weitere Treppenzahlen können ebenfalls berechnet werden, indem wir bei einer anderen Anfangszahl beginnen oder mehr oder weniger Stufen verwenden. Die Begründung für diese Rechenschritte könnte sein, dass man bei jeder weiteren Stufe 1 zur jeweiligen Vorstufenzahl addiert und die Zahlen dann summiert, um eine Gesamttreppenzahl zu erhalten.
Mathematical Properties of Consecutive Numbers
Die folgenden Behauptungen werden einzeln überprüft: a. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 3 teilbar. Diese Behauptung ist wahr. Nehmen wir drei aufeinanderfolgende Zahlen, bezeichnet als \( n \), \( n+1 \), und \( n+2 \) (wobei \( n \) eine ganze Zahl ist). Ihre Summe ist \( n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n + 1) \). Da dies ein Produkt einer ganzen Zahl (\( n+1 \)) und der Zahl 3 ist, ist die Summe durch 3 teilbar. b. Zerlege die Zahl 48 in drei Summanden. Das Produkt dieser Zahlen ist immer eine gerade Zahl. Diese Behauptung ist ebenfalls wahr. Die Zahl 48 ist gerade, und jede Zerlegung in Summanden wird zumindest eine gerade Zahl beinhalten, weil die Summe dreier ungerader Zahlen immer ungerade wäre, und 48 ist gerade. Da das Produkt einer geraden Zahl mit beliebigen anderen Zahlen ebenfalls gerade ist, wird das Produkt der drei Summanden immer eine gerade Zahl sein, unabhängig davon, wie man die 48 zerlegt. c. Wenn \( x \) gerade ist, dann ist \( x^2 \) immer gerade. Diese Behauptung ist wahr. Wenn \( x \) gerade ist, lässt sich \( x \) als \( 2k \) schreiben, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Das Quadrat von \( x \) ist dann \( (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \), was wiederum die Form einer geraden Zahl (ein Vielfaches von 2) hat. Daher ist \( x^2 \) immer gerade, wenn \( x \) gerade ist.
Analyzing Statements on Number Properties
2. Die folgenden Behauptungen können richtig oder falsch sein. a. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 3 teilbar. b. Zerlege die Zahl 48 in drei Summanden. Das Produkt dieser Zahlen ist immer eine gerade Zahl. c. Wenn x gerade ist, dann ist x² immer gerade. Lassen Sie uns jede Behauptung einzeln analysieren: a. Diese Behauptung ist richtig. Wenn man drei aufeinanderfolgende Zahlen betrachtet, kann man sie als n, n+1 und n+2 darstellen, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Die Summe dieser Zahlen ist dann n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3*(n + 1), was offensichtlich durch 3 teilbar ist, da es ein Vielfaches von 3 ist. b. Diese Behauptung ist falsch. Als Gegenbeispiel kann man 48 in die Summanden 1, 2 und 45 zerlegen. Das Produkt dieser drei Zahlen ist 1 * 2 * 45 = 90, und 90 ist eine gerade Zahl. Es gibt jedoch auch andere Zerlegungen, z.B. 16, 16 und 16. Das Produkt wäre in diesem Fall 16 * 16 * 16, was definitiv eine gerade Zahl ist. Da die Behauptung jedoch allgemeingültig formuliert ist und das obige Gegenbeispiel ein Fall ist, in dem das Produkt eine gerade Zahl ist, ist die Behauptung als falsch zu betrachten. Die Behauptung wäre korrekt, wenn sie besagen würde, dass das Produkt ungerade ist, wenn alle drei Summanden ungerade sind. c. Diese Behauptung ist richtig. Wenn x eine gerade Zahl ist, kann man es als 2k darstellen, wobei k eine ganze Zahl ist. Dann ist x² = (2k)² = 4k², was offensichtlich immer eine gerade Zahl ist, da es ein Vielfaches von 4 ist.
Representation of Numbers as Staircase Patterns
1. Welche Zahlen lassen sich als Serie (7er) Treppe, also einer Treppe aus 7 (5x7) Stufen, darstellen? Begründen Sie ikonisch. Um eine Zahl als 7er Treppe darzustellen, muss sie die Summe der ersten sieben positiven ganzen Zahlen sein. Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist durch die Formel n(n+1)/2 gegeben. Setzen wir n=7, erhalten wir: 7(7+1)/2 = 7*8/2 = 56/2 = 28 Somit ist die Zahl, die sich als 7er Treppe darstellen lässt, 28. Jede weitere 7er Treppe würde aus aufeinanderfolgenden Zahlen bestehen, die jeweils 7 Einheiten höher sind als die vorherigen; das heißt, die nächste 7er Treppe würde bei 8 anfangen und bis 14 gehen, was insgesamt 35 ergibt, dann würde die nächste bei 15 anfangen, und so weiter. 2. Es lassen sich nur Zahlen mit ungeraden Teilern als Treppenzahl darstellen... a. Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler. b. Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler. Eine Treppenzahl ist die Summe der ersten k natürlichen Zahlen, und wie im ersten Punkt erwähnt, ist die Summe durch die Formel n(n+1)/2 gegeben. Wenn n ungerade ist, ist n+1 gerade, und die Division durch 2 ist problemlos möglich, ohne einen ungeraden Teiler zu verlieren. Wenn n gerade ist, ist n+1 ungerade, und wiederum bleibt nach der Division durch 2 ein ungerader Teiler. Daher haben sowohl Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen als auch Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen mindestens einen ungeraden Teiler. 3. Auf wie viele Arten lässt sich die Zahl 75 (63, 70) als Treppenzahl (Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen) darstellen? Begründen Sie. Notieren Sie alle möglichen Darstellungen. Um zu sehen, wie man die Zahl 75 als Treppenzahl darstellen kann, sucht man nach Sequenzen aufeinanderfolgender Zahlen, deren Summe 75 ergibt. Dies kann man auf verschiedene Weisen tun, zum Beispiel durch Ausprobieren oder durch die Anwendung von Formeln, die auf der Summe arithmetischer Reihen basieren. Beispielsweise kann 75 als Summe der Zahlen 37 und 38 dargestellt werden, da 37 + 38 = 75. Es kann aber auch eine längere Sequenz von Zahlen geben, die zu 75 addiert werden. Wenn man systematisch vorgeht, sucht man nach einem k, sodass \( k \times (k+1) / 2 \) gleich 75 oder einem anderen Vielfachen von 75 ist. Man kann auch die Gleichung \( n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+k) = 75 \) lösen, wobei n der Startpunkt der Sequenz und k die Anzahl der Terme ist. Umformen liefert \( (k/2) \times (2n + k + 1) = 75 \). Da 75 = 3 * 5 * 5, muss man nach k-Werten suchen, die so beschaffen sind, dass \( (k/2) \times (2n + k + 1) \) ein Produkt von Faktoren von 75 ist. Für 63 und 70 würde man ähnlich vorgehen. Man sucht wiederum Sequenzen aufeinanderfolgender Zahlen, die zu diesen Summen führen, und löst entsprechende Gleichungen oder probiert systematisch verschiedene Möglichkeiten aus.
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