Question - Understanding Factors of Staircase Numbers
Solution:
Auf dem Bild wird gefragt, warum Zahlen mit ungeraden Teilern sich als Treppenzahl darstellen lassen. Es gibt zwei Aussagen zu begründen:a. Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler.b. Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen geraden Teiler.Um diese Aussagen zu begründen, müssen wir uns zuerst klarmachen, was eine Treppenzahl ist. Eine Treppenzahl ist eine Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, zum Beispiel 1 + 2 + 3 + ... + n. Die Summe dieser Zahlen kann man formell als n(n + 1)/2 ausdrücken.a. Wenn eine Treppenzahl eine ungerade Anzahl n an Stufen hat, dann ist n ungerade. Da n und n + 1 aufeinander folgen, muss einer der beiden Terme gerade sein und der andere ungerade. In diesem Fall ist n ungerade, daher ist n + 1 gerade. Wenn man jetzt n(n + 1)/2 berechnet, kürzt sich die 2 im Nenner mit n + 1 (weil es gerade ist), und das Ergebnis ist ein Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl. Weil eine gerade Zahl durch 2 teilbar ist, bleibt das Produkt eine ungerade Zahl, was bedeutet, dass die Treppenzahl in diesem Fall mindestens einen ungeraden Teiler hat – nämlich die ungerade Zahl n.b. Wenn eine Treppenzahl eine gerade Anzahl m an Stufen hat, dann ist m gerade. Wir haben wieder, dass m und m + 1 aufeinanderfolgende Zahlen sind, also ist dieses Mal m gerade und m + 1 ungerade. Die Summenformel lautet m(m + 1)/2. Hierbei wird die 2 im Nenner durch m geteilt, da m gerade ist. Das Ergebnis ist das Produkt einer ungeraden Zahl (m + 1) und der Hälfte einer geraden Zahl (m/2), was eine ganze Zahl ist. Das gesamte Produkt muss demnach gerade sein, was bedeutet, dass die Treppenzahl einen geraden Teiler hat.Somit haben wir gezeigt, dass Treppenzahlen mit ungeraden Stufenanzahlen ungerade Teiler haben und Treppenzahlen mit geraden Stufenanzahlen gerade Teiler haben.
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