Question - Representation of Numbers as Staircase Patterns
mathsum of consecutive numbersstaircase patterns numbersrepresentation of numbersodd divisors in numbers
Solution:
1. Welche Zahlen lassen sich als Serie (7er) Treppe, also einer Treppe aus 7 (5x7) Stufen, darstellen? Begründen Sie ikonisch.Um eine Zahl als 7er Treppe darzustellen, muss sie die Summe der ersten sieben positiven ganzen Zahlen sein. Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist durch die Formel n(n+1)/2 gegeben. Setzen wir n=7, erhalten wir:7(7+1)/2 = 7*8/2 = 56/2 = 28Somit ist die Zahl, die sich als 7er Treppe darstellen lässt, 28. Jede weitere 7er Treppe würde aus aufeinanderfolgenden Zahlen bestehen, die jeweils 7 Einheiten höher sind als die vorherigen; das heißt, die nächste 7er Treppe würde bei 8 anfangen und bis 14 gehen, was insgesamt 35 ergibt, dann würde die nächste bei 15 anfangen, und so weiter.2. Es lassen sich nur Zahlen mit ungeraden Teilern als Treppenzahl darstellen... a. Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler. b. Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler.Eine Treppenzahl ist die Summe der ersten k natürlichen Zahlen, und wie im ersten Punkt erwähnt, ist die Summe durch die Formel n(n+1)/2 gegeben. Wenn n ungerade ist, ist n+1 gerade, und die Division durch 2 ist problemlos möglich, ohne einen ungeraden Teiler zu verlieren. Wenn n gerade ist, ist n+1 ungerade, und wiederum bleibt nach der Division durch 2 ein ungerader Teiler. Daher haben sowohl Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen als auch Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen mindestens einen ungeraden Teiler.3. Auf wie viele Arten lässt sich die Zahl 75 (63, 70) als Treppenzahl (Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen) darstellen? Begründen Sie. Notieren Sie alle möglichen Darstellungen.Um zu sehen, wie man die Zahl 75 als Treppenzahl darstellen kann, sucht man nach Sequenzen aufeinanderfolgender Zahlen, deren Summe 75 ergibt. Dies kann man auf verschiedene Weisen tun, zum Beispiel durch Ausprobieren oder durch die Anwendung von Formeln, die auf der Summe arithmetischer Reihen basieren.Beispielsweise kann 75 als Summe der Zahlen 37 und 38 dargestellt werden, da 37 + 38 = 75. Es kann aber auch eine längere Sequenz von Zahlen geben, die zu 75 addiert werden.Wenn man systematisch vorgeht, sucht man nach einem k, sodass $$ k \times (k+1) / 2 $$ gleich 75 oder einem anderen Vielfachen von 75 ist. Man kann auch die Gleichung $$ n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+k) = 75 $$ lösen, wobei n der Startpunkt der Sequenz und k die Anzahl der Terme ist. Umformen liefert $$ (k/2) \times (2n + k + 1) = 75 $$. Da 75 = 3 * 5 * 5, muss man nach k-Werten suchen, die so beschaffen sind, dass $$ (k/2) \times (2n + k + 1) $$ ein Produkt von Faktoren von 75 ist.Für 63 und 70 würde man ähnlich vorgehen. Man sucht wiederum Sequenzen aufeinanderfolgender Zahlen, die zu diesen Summen führen, und löst entsprechende Gleichungen oder probiert systematisch verschiedene Möglichkeiten aus.
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