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Example Question - sine function

Here are examples of questions we've helped users solve.

Trigonometric Function Problem Involving Sine in Quadrants

Given that $\sin \theta = -\frac{3}{4}$ and $\theta$ lies in the third quadrant, we know that $\sin \theta < 0$ and $\cos \theta < 0$. To find $ \cos ^2 \theta $, let's first find $ \cos \theta $. We use the Pythagorean identity $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $. $ \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta $ $ \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} $. The cosine function is negative in the third quadrant, so $\cos \theta = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$. Therefore, $ \cos^2 \theta = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = \frac{7}{16} $.

Triangle Trigonometry Problem

Dado que $sen(x) = 0.28$, y sabiendo que el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al lado opuesto sobre la hipotenusa, podemos establecer la siguiente relación: \[ sen(x) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{BC}{AC} \] Entonces podemos escribir que: \[ 0.28 = \frac{BC}{7.5} \] Resolviendo para $BC$: \[ BC = 7.5 \cdot 0.28 \] \[ BC = 2.1 \text{ cm} \] Por lo tanto, la longitud de $BC$ es 2.1 cm.

Finding the Derivative of Sine Function with a Scalar Multiple of the Variable

\frac{d}{dx} [\sin(2x)] = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}[2x] = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)

Trigonometric Identity Proof Involving Tangent and Sine Functions

Given that $ \tan^2 \alpha = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi $, we need to prove that $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \phi $. From the given, we can write: $ \tan^2 \alpha = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi $ $ \tan^2 \alpha = \cos(2\phi) $ (using the double-angle formula $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$) Also, from the Pythagorean identity $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$, we have $ \sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha $ $ \sec^2 \alpha = 1 + \cos(2\phi) $ Now, using the identity $ \cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} $, we get: $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{\sec^2 \alpha} $ $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} $ From the Pythagorean identity $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $, we have $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $ $ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} $ So, the left-hand side of what we need to prove becomes: $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $ $ = \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} - \left(1 - \frac{1}{1 + \cos(2\phi)}\right) $ $ = \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} - \frac{1 + \cos(2\phi) - 1}{1 + \cos(2\phi)} $ $ = \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} - \frac{\cos(2\phi)}{1 + \cos(2\phi)} $ $ = \frac{1 - \cos(2\phi)}{1 + \cos(2\phi)} $ Now we can use the identity $ \tan^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)} $ to write: $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \phi $ Which is what we wanted to prove.

Trigonometric Values of Special Angles

\begin{align*} \sin(45^\circ) &= \frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos(45^\circ) &= \frac{\sqrt{2}}{2},\\ \tan(45^\circ) &= \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1. \end{align*}

Solving trigonometric equation for sine function

Para resolver la ecuación $ 2\sin(x) = \sqrt{3} $, primero dividimos ambos lados de la ecuación por 2 para aislar el seno de x: \[ \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] A continuación, buscamos los valores del ángulo x para los cuales el seno es igual a $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Esta relación corresponde a un ángulo de 60 grados o, en radianes, $ \frac{\pi}{3} $. Sin embargo, como estamos buscando un ángulo agudo y positivo, la respuesta debe estar en el primer cuadrante del círculo unitario (ya que el seno es positivo en los cuadrantes primero y segundo, pero solo es agudo en el primero). Por lo tanto, el ángulo agudo y positivo que satisface la ecuación dada es $ x = \frac{\pi}{3} $ radianes.

Finding the Hypotenuse of a Right Triangle using Sine Function

La imagen muestra un triángulo rectángulo, y se nos pide encontrar la longitud de la hipotenusa, etiquetada con un signo de interrogación (?). Se nos da que el cateto opuesto al ángulo de 57° mide 31 unidades, y podemos utilizar la función trigonométrica seno para encontrar la hipotenusa. La definición del seno de un ángulo en un triángulo rectángulo es: \[ \text{seno}(\text{ángulo}) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{hipotenusa}} \] Podemos reemplazar con los valores que tenemos: \[ \text{seno}(57°) = \frac{31}{\text{hipotenusa}} \] Ahora necesitamos despejar la hipotenusa de la ecuación. Primero, busquemos el valor de seno de 57° utilizando una calculadora: \[ \text{seno}(57°) \approx 0.8387 \] Ahora insertemos este valor en la ecuación: \[ 0.8387 = \frac{31}{\text{hipotenusa}} \] Despejamos la hipotenusa multiplicando ambos lados de la ecuación por la hipotenusa y dividiendo ambos lados por 0.8387: \[ \text{hipotenusa} = \frac{31}{0.8387} \] \[ \text{hipotenusa} \approx 36.96 \] Así que la longitud de la hipotenusa es aproximadamente 36.96 unidades.

Calculating Limit of a Trigonometric Expression

Para encontrar el límite de la expresión $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^3 x}}{{x^2}}$, podemos utilizar la conocida regla del límite: $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1$. Sin embargo, la expresión que tenemos es un poco diferente y tenemos que ajustarla para poder aplicar directamente esta regla. Primero, podemos reescribir el seno al cubo como $(\sin x)^3$. Entonces, la expresión queda como $(\sin x)^3/x^2$, lo cual puede ser escrita como $(\sin x/x)^2 \cdot \sin x$. Ahora aplicamos la regla mencionada: \[\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1\] Utilizamos esto para calcular el valor del límite: \[\lim_{{x \to 0}} (\frac{{\sin x}}{{x}})^2 \cdot \sin x = (\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}})^2 \cdot (\lim_{{x \to 0}} \sin x)\] Sustituimos los límites conocidos: \[= 1^2 \cdot 0\] Así que el resultado del límite es: \[= 0\] Por lo tanto, el valor del límite es 0.

Finding Tangent of Angle with Known Sine

The expression given is: \[ \tan(\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})) \] Here, we are asked to find the tangent of the angle whose sine is $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Recognize that $\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})$ corresponds to the angle whose sine is $\frac{\sqrt{2}}{2}$. This is an angle in a right triangle where the side opposite the angle has length $\sqrt{2}$ and the hypotenuse has length 2. By the Pythagorean theorem, the length of the adjacent side of this right triangle will be: \[ \text{Adjacent side} = \sqrt{\text{Hypotenuse}^2 - \text{Opposite side}^2} \] \[ \text{Adjacent side} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} \] \[ \text{Adjacent side} = \sqrt{4 - 2} \] \[ \text{Adjacent side} = \sqrt{2} \] Now we have a right triangle where the opposite side is $\sqrt{2}$, the adjacent side is also $\sqrt{2}$, and the hypotenuse is 2. To find the tangent of the angle, we simply divide the opposite side by the adjacent side: \[ \tan(\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{\text{Opposite side}}{\text{Adjacent side}} \] \[ \tan(\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \] \[ \tan(\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})) = 1 \] Therefore, the value of the expression is 1.