Example Question - series
Here are examples of questions we've helped users solve.
Understanding a Series of Fractions
<p>Para resolver la serie de fracciones, se suma cada término dado:</p> <p>\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \]</p> <p>Para sumar fracciones, se necesitan denominadores comunes. El mínimo común denominador (MCD) de 2, 3 y 6 es 6.</p> <p>\[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \]</p> <p>Ahora que todas las fracciones tienen el mismo denominador, se pueden sumar los numeradores:</p> <p>\[ \frac{3 + 2 + 1}{6} \]</p> <p>\[ \frac{6}{6} \]</p> <p>Finalmente, se simplifica la fracción:</p> <p>\[ \frac{6}{6} = 1 \]</p>
Summation of a Series of Squared Terms
<p>La expresión dada es una suma de términos al cuadrado, la cual se representa matemáticamente con el símbolo de sumatoria \(\Sigma\).</p> <p>Para resolver la suma, simplemente elevamos al cuadrado cada número del 1 al 3 y sumamos los resultados:</p> <p>\(\sum_{i=1}^{3} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2\)</p> <p>\(= 1 + 4 + 9\)</p> <p>\(= 14\)</p> <p>Por lo tanto, el resultado de la suma de los términos al cuadrado desde \(i=1\) hasta \(i=3\) es \(14\).</p>
Calculating the Range of a Series of Numbers
<p>To find the range of the given data set, identify the largest and smallest numbers and subtract the smallest from the largest.</p> <p>Smallest number = \(11\)</p> <p>Largest number = \(71\)</p> <p>\( \text{Range} = \text{Largest number} - \text{Smallest number} = 71 - 11 = 60 \)</p>
Arithmetic Sequence Problem
<p>لإيجاد الحد الخامس ($a_5$) في متتالية حسابية حيث الحد الثامن هو $18$ ومجموع أول $8$ أحداث هو $72$، علينا أولا إيجاد الفرق الشائع ($d$).</p> <p>مجموع أول $n$ حدود في متتالية حسابية معطى بالعلاقة:</p> \[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \] <p>حيث $S_n$ المجموع، $n$ عدد الحدود، $a_1$ الحد الأول، و$d$ الفرق الشائع. </p> <p>لدينا $S_8 = 72$ و $a_8 = 18$. $a_8$ معطى بالعلاقة:</p> \[ a_8 = a_1 + 7d \] <p>بالتعويض في معادلة المجموع:</p> \[ 72 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) \] \[ 72 = 4(2a_1 + 7d) \] \[ 18 = 2a_1 + 7d \] \[ 9 = a_1 + 3.5d \] <p>لدينا نظام المعادلات:</p> \[ a_8 = a_1 + 7d = 18 \] \[ a_1 + 3.5d = 9 \] <p>نطرح المعادلة الثانية من الأولى:</p> \[ 7d - 3.5d = 18 - 9 \] \[ 3.5d = 9 \] \[ d = \frac{9}{3.5} = 2.571 \] <p>يمكن الآن حساب $a_1$ من المعادلة $a_1 + 3.5d = 9$:</p> \[ a_1 + 3.5 \cdot 2.571 = 9 \] \[ a_1 + 9 = 9 \] \[ a_1 = 0 \] <p>الآن يمكن حساب الحد الخامس:</p> \[ a_5 = a_1 + 4d \] \[ a_5 = 0 + 4 \cdot 2.571 \] \[ a_5 = 10.284 \] <p>إذًا، الحد الخامس هو تقريبًا $10.284$.</p>
Solving a Sequence Problem
<p>На данном изображении приведена задача на арифметическую последовательность, в которой необходимо найти сумму первых n членов.</p> <p>Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \), где \( S_n \) - сумма первых n членов, \( a_1 \) - первый член, и \( a_n \) - n-ый член прогрессии.</p> <p>Сначала найдем разность прогрессии (d):</p> <p>\( a_2 = a_1 + d \)</p> <p>\( 6,1 = 5,7 + d \)</p> <p>\( d = 6,1 - 5,7 \)</p> <p>\( d = 0,4 \)</p> <p>Теперь найдем 14-ый член прогрессии \( a_{14} \):</p> <p>\( a_{14} = a_1 + (14 - 1) \cdot d \)</p> <p>\( a_{14} = 5,7 + 13 \cdot 0,4 \)</p> <p>\( a_{14} = 5,7 + 5,2 \)</p> <p>\( a_{14} = 10,9 \)</p> <p>Теперь мы можем вычислить сумму первых 14 членов ( \( S_{14} \) ):</p> <p>\( S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (a_1 + a_{14}) \)</p> <p>\( S_{14} = 7 \cdot (5,7 + 10,9) \)</p> <p>\( S_{14} = 7 \cdot 16,6 \)</p> <p>\( S_{14} = 116,2 \)</p> <p>Таким образом, сумма первых 14 членов данной арифметической прогрессии равна 116,2.</p>
Solving a Series Pattern
<p>Primero, identificamos el patrón en la serie proporcionada. Observamos que la diferencia entre los números consecutivos disminuye por 4 cada vez:</p> \[ \begin{align*} 50 - 46 &= 4, \\ 46 - 42 &= 4, \\ 42 - 38 &= 4. \\ \end{align*} \] <p>El próximo número en la secuencia se obtendría sustrayendo 4 del último número dado, o sea 38:</p> \[ 38 - 4 = 34. \] <p>Por lo tanto, el siguiente valor en la serie es 34.</p>
Calculating the Sum of Squared Fractions
<p>لحل المسألة المطروحة، نحتاج إلى حساب مجموع المربعات للكسور من 1/10 إلى 21/10. يُمكن حسابها من خلال الصيغة التالية:</p> <p>\[ \sum_{i=1}^{21} \left(\frac{i}{10}\right)^2 \]</p> <p>نبدأ بتوسيع المعادلة:</p> <p>\[ \sum_{i=1}^{21} \left(\frac{i^2}{100}\right) = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{21} i^2 \]</p> <p>لحساب مجموع مربعات الأعداد الطبيعية، نستخدم الصيغة:</p> <p>\[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \]</p> <p>نطبق هذه الصيغة على مجموع مربعات الأعداد حتى 21:</p> <p>\[ \frac{1}{100} \cdot \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{6} \]</p> <p>نقوم بالتبسيط:</p> <p>\[ = \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{600} \]</p> <p>نقوم الآن بضرب الأعداد في البسط وتقسيم النتيجة على المقام:</p> <p>\[ = \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{600} = \frac{19866}{600} = 33.11 \]</p> <p>بالتالي، النتيجة تساوي 33.11.</p>
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com