Question - Calculating the Sum of Squared Fractions

لحل المسألة المطروحة، نحتاج إلى حساب مجموع المربعات للكسور من 1/10 إلى 21/10. يُمكن حسابها من خلال الصيغة التالية:

\[ \sum_{i=1}^{21} \left(\frac{i}{10}\right)^2 \]

نبدأ بتوسيع المعادلة:

\[ \sum_{i=1}^{21} \left(\frac{i^2}{100}\right) = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{21} i^2 \]

لحساب مجموع مربعات الأعداد الطبيعية، نستخدم الصيغة:

\[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \]

نطبق هذه الصيغة على مجموع مربعات الأعداد حتى 21:

\[ \frac{1}{100} \cdot \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{6} \]

نقوم بالتبسيط:

\[ = \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{600} \]

نقوم الآن بضرب الأعداد في البسط وتقسيم النتيجة على المقام:

\[ = \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{600} = \frac{19866}{600} = 33.11 \]

بالتالي، النتيجة تساوي 33.11.