CamTutor

Question - Arithmetic Sequence Problem

لإيجاد الحد الخامس ($a_5$) في متتالية حسابية حيث الحد الثامن هو $18$ ومجموع أول $8$ أحداث هو $72$، علينا أولا إيجاد الفرق الشائع ($d$).

مجموع أول $n$ حدود في متتالية حسابية معطى بالعلاقة:

\[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \]

حيث $S_n$ المجموع، $n$ عدد الحدود، $a_1$ الحد الأول، و$d$ الفرق الشائع.

لدينا $S_8 = 72$ و $a_8 = 18$. $a_8$ معطى بالعلاقة:

\[ a_8 = a_1 + 7d \]

بالتعويض في معادلة المجموع:

\[ 72 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) \] \[ 72 = 4(2a_1 + 7d) \] \[ 18 = 2a_1 + 7d \] \[ 9 = a_1 + 3.5d \]

لدينا نظام المعادلات:

\[ a_8 = a_1 + 7d = 18 \] \[ a_1 + 3.5d = 9 \]

نطرح المعادلة الثانية من الأولى:

\[ 7d - 3.5d = 18 - 9 \] \[ 3.5d = 9 \] \[ d = \frac{9}{3.5} = 2.571 \]

يمكن الآن حساب $a_1$ من المعادلة $a_1 + 3.5d = 9$:

\[ a_1 + 3.5 \cdot 2.571 = 9 \] \[ a_1 + 9 = 9 \] \[ a_1 = 0 \]

الآن يمكن حساب الحد الخامس:

\[ a_5 = a_1 + 4d \] \[ a_5 = 0 + 4 \cdot 2.571 \] \[ a_5 = 10.284 \]

إذًا، الحد الخامس هو تقريبًا $10.284$.

CamTutor

In regards to math, we are professionals.