Question - Solution to a Differential Equation
Solution:
题目给出了一个初值问题，微分方程为 $$\frac{dy}{dx} = y - 2$$，初始条件为 $$y(2) = 3$$。让我们解这个微分方程。分离变量得到：\[\frac{1}{y-2}dy = dx\]对两边积分，得到：\[\int\frac{1}{y-2}dy = \int dx\]得到：\[ln|y-2| = x + C\]由于 $$ln|y-2|$$ 对应的是 $$y-2$$ 的绝对值，因此我们需要考虑 $$y-2$$ 为正或者为负的情况。但是，由于初始条件 $$y(2) = 3$$，我们可以知道 $$y-2$$ 应该是正的。所以我们现在有：\[ln(y-2) = x + C\]为了解出常数 $$C$$，我们使用初始条件 $$y(2) = 3$$：\[ln(3-2) = 2 + C\]\[ln(1) = C\]由于 $$ln(1) = 0$$，我们有 $$C = 0$$。因此，解为：\[ln(y-2) = x\]解出 $$y$$ 得：\[y-2 = e^x\]\[y = e^x + 2\]所以正确答案是 (A) $$y = e^x + 2$$。
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