Question - Solving a Differential Equation with Separation of Variables

Vamos a resolver la integral expresada en la imagen, que es una integral indefinida de la forma:

\[ \int \frac{1}{P(1-P)} \, dP \]

Este es un caso clásico de descomposición en fracciones parciales. Primero debemos factorizar el denominador y luego expresar la fracción como la suma de fracciones más simples.

El denominador ya está factorizado. Vamos a intentar expresarlo como la suma de dos fracciones con constantes desconocidas A y B:

\[ \frac{1}{P(1-P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1-P} \]

Combinando los términos del lado derecho bajo un mismo denominador, tenemos:

\[ \frac{A(1-P) + BP}{P(1-P)} = \frac{1}{P(1-P)} \]

De esto, establecemos que:

\[ A(1-P) + BP = 1 \]

Vamos a encontrar A y B igualando los coeficientes de los términos semejantes. Eligiendo P = 0, obtenemos que A = 1. Y eligiendo P = 1, obtenemos que B = -1. Ahora podemos reescribir la integral original como:

\[ \int \left( \frac{1}{P} - \frac{1}{1-P} \right) \, dP \]

Separando las integrales, tenemos:

\[ \int \frac{1}{P} \, dP - \int \frac{1}{1-P} \, dP \]

La integral de 1/P es ln|P|, y la integral de 1/(1-P) es -ln|1-P|. Así que la solución es:

\[ \ln|P| - (-\ln|1-P|) + C \]

donde C es la constante de integración. Simplificando los signos, obtenemos:

\[ \ln|P| + \ln|1-P| + C \]

o escribiendo como un solo logaritmo (ya que ln(a) + ln(b) = ln(ab)):

\[ \ln|P(1-P)| + C \]

Esta es la solución a la integral que se muestra en la imagen.