Example Question - savings
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Calculating the Duration to Achieve a Savings Goal with Interest
<p>Die Frage bezieht sich auf die Berechnung der Anlagedauer, bis zu der ein bestimmter Betrag auf einem Sparkonto durch Zinseszinsen erreicht wird. Dies kann mit Hilfe der Formel für Zinseszinsen gelöst werden. Die Formel lautet: \( A = P \cdot (1 + \frac{r}{n})^{n \cdot t} \), wobei:</p> <p>\( A \) - der zukünftige Wert des Investments</p> <p>\( P \) - der Anfangsbetrag (hier 1.000,00 €)</p> <p>\( r \) - der jährliche Zinssatz (hier 2,5%, also 0,025)</p> <p>\( n \) - die Anzahl der Zeiträume pro Jahr, in denen Zinsen anfallen (hier jährlich, also 1)</p> <p>\( t \) - die Anzahl der Jahre</p> <p>Wir wollen \( t \) berechnen, wenn \( A \) mindestens 1.500,00 € sein soll. Wir setzen die Werte in die Formel ein und lösen nach \( t \) auf:</p> <p>\[ 1500 = 1000 \cdot (1 + 0.025)^t \]</p> <p>Nun teilen wir beide Seiten durch 1000:</p> <p>\[ 1.5 = (1 + 0.025)^t \]</p> <p>Anwenden des Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung:</p> <p>\[ \ln(1.5) = t \cdot \ln(1.025) \]</p> <p>Löse nach \( t \) auf:</p> <p>\[ t = \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.025)} \]</p> <p>Nun berechnen wir \( t \) mit einem Taschenrechner oder einer entsprechenden Software:</p> <p>\[ t \approx \frac{0.405465}{0.024693} \approx 16.405 \]</p> <p>Da wir für die Anzahl der Jahre eine ganze Zahl benötigen und die Frage darauf abzielt, mindestens 1.500,00 € zu erreichen, müssen wir aufrunden:</p> <p>\[ t \approx 17 \]</p> <p>Es müssen also etwa 17 Jahre verstreichen, bis auf dem Konto mindestens 1.500,00 € angespart sein wird, wenn jährlich 2,5% Zinseszinsen hinzukommen.</p>
Compound Interest Calculation Question
Um die Anzahl der Jahre zu ermitteln, die benötigt werden, damit ein Betrag von 1.000,00 € auf mindestens 1.500,00 € bei einer jährlichen Verzinsung von 2,5 % anwächst, verwenden wir die Formel für Zinseszinsen: \[ K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n \] Dabei ist: - \( K_n \) der Endbetrag, den wir erzielen wollen (mindestens 1.500,00 €). - \( K_0 \) der Anfangsbetrag (1.000,00 €). - \( i \) der Zinssatz pro Periode (hier: 2,5 % pro Jahr, also \( i = 0,025 \)). - \( n \) die Anzahl der Perioden (Jahre), die wir berechnen wollen. Umgestellt nach \( n \) ergibt sich: \[ n = \frac{\log(K_n / K_0)}{\log(1 + i)} \] Setzen wir die gegebenen Werte ein: \[ n = \frac{\log(1.500 / 1.000)}{\log(1 + 0,025)} \] \[ n = \frac{\log(1,5)}{\log(1,025)} \] Berechnen wir \( n \): \[ n = \frac{0,1760912591}{0,0246926125} \approx 7,13 \] Da eine teilweise Jahresangabe nicht sinnvoll ist, wenn nach ganzen Jahren gefragt wird, und der Betrag mindestens 1.500 € sein muss, runden wir auf das nächste ganze Jahr auf: \[ n = 8 \] Es sind also 8 volle Jahre erforderlich, damit das Guthaben auf mindestens 1.500 € bei einem Zinssatz von 2,5 % pro Jahr wächst.
Compound Interest Calculation
Um die Anzahl der Jahre zu berechnen, die erforderlich sind, damit ein Betrag von 1.000,00 € bei einem Zinssatz von 2,5% auf mindestens 1.500,00 € anwächst, verwenden wir die Formel für Zinseszinsen: \[ K_n = K_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n \] Dabei ist: - \( K_n \) der zukünftige Kapitalbetrag (1.500,00 €) - \( K_0 \) der anfängliche Kapitalbetrag (1.000,00 €) - \( p \) der Zinssatz (2,5%) - \( n \) die Anzahl der Jahre Um die Anzahl der Jahre \( n \) zu bestimmen, lösen wir die Gleichung: \[ 1.500 = 1.000 \cdot (1+\frac{2,5}{100})^n \] Umformen der Gleichung ergibt: \[ 1,5 = (1+0,025)^n \] Anwendung des natürlichen Logarithmus (ln) auf beiden Seiten führt zu: \[ \ln(1,5) = n \cdot \ln(1,025) \] Nun lösen wir nach \( n \): \[ n = \frac{\ln(1,5)}{\ln(1,025)} \] Berechnen wir diesen Ausdruck: \[ n \approx \frac{0,405465108}{0,024692615} \] \[ n \approx 16,44 \] Da \( n \) die Anzahl der Jahre ist und nicht als Bruchteil eines Jahres interpretiert werden kann, müssen wir auf die nächste ganze Zahl aufrunden, da die 0,44 ein Teil eines Jahres darstellen und man ein komplettes Jahr benötigt, um über die 1.500,00 € hinaus zu erreichen. \[ n = 17 \] Es würden also mindestens 17 Jahre benötigt, damit der Betrag auf dem Konto bei einem Zinssatz von 2,5 % auf mindestens 1.500,00 € anwächst.
Compound Interest Calculation for Future Savings
<p>Die Aufgabe lautet, den zukünftigen Wert einer Einzahlung zu bestimmen, die mit einem jährlichen Zinssatz von 2,5% über einen Zeitraum von der Zeit des 10. Geburtstags bis zum Erhalt eines Führerscheins 8 Jahre später wächst. Das Endkapital, welches benötigt wird, beträgt 1500,00 €.</p> <p>Um den zukünftigen Wert zu berechnen, verwenden wir die Formel für den zukünftigen Wert bei Zinseszins:</p> <p>A = P \cdot (1 + \frac{r}{n})^{n \cdot t}</p> <p>Wobei:</p> <p>A = zukünftiger Wert (Endkapital)</p> <p>P = anfängliche Einzahlung (Startkapital)</p> <p>r = jährlicher Zinssatz (dezimal)</p> <p>n = Anzahl der Perioden pro Jahr</p> <p>t = Anzahl der Jahre</p> <p>Da der Zinssatz jährlich ist und keine Angabe zur Zinseszins-Periode gemacht wird, nehmen wir an, dass die Verzinsung jährlich erfolgt (n = 1). Der Zeitraum beträgt 8 Jahre (t = 8).</p> <p>Das Endkapital A ist gegeben als 1500,00 € und wir wollen P berechnen. Der jährliche Zinssatz r ist 2,5%, was 0,025 als Dezimalzahl ist.</p> <p>Umformen der Formel nach P:</p> <p>P = \frac{A}{(1 + \frac{r}{n})^{n \cdot t}}</p> <p>Einsetzen der Werte:</p> <p>P = \frac{1500,00}{(1 + 0,025)^{1 \cdot 8}}</p> <p>P = \frac{1500,00}{(1 + 0,025)^8}</p> <p>P = \frac{1500,00}{(1,025)^8}</p> <p>P = \frac{1500,00}{1,218402}</p> <p>P \approx 1231,38</p> <p>Die Person hätte also ca. 1231,38 € einzahlen müssen, um bei einem Zinssatz von 2,5% nach 8 Jahren 1500,00 € zur Verfügung zu haben.</p>
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