Question - Calculating the Duration to Achieve a Savings Goal with Interest

Die Frage bezieht sich auf die Berechnung der Anlagedauer, bis zu der ein bestimmter Betrag auf einem Sparkonto durch Zinseszinsen erreicht wird. Dies kann mit Hilfe der Formel für Zinseszinsen gelöst werden. Die Formel lautet: \( A = P \cdot (1 + \frac{r}{n})^{n \cdot t} \), wobei:

\( A \) - der zukünftige Wert des Investments

\( P \) - der Anfangsbetrag (hier 1.000,00 €)

\( r \) - der jährliche Zinssatz (hier 2,5%, also 0,025)

\( n \) - die Anzahl der Zeiträume pro Jahr, in denen Zinsen anfallen (hier jährlich, also 1)

\( t \) - die Anzahl der Jahre

Wir wollen \( t \) berechnen, wenn \( A \) mindestens 1.500,00 € sein soll. Wir setzen die Werte in die Formel ein und lösen nach \( t \) auf:

\[ 1500 = 1000 \cdot (1 + 0.025)^t \]

Nun teilen wir beide Seiten durch 1000:

\[ 1.5 = (1 + 0.025)^t \]

Anwenden des Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung:

\[ \ln(1.5) = t \cdot \ln(1.025) \]

Löse nach \( t \) auf:

\[ t = \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.025)} \]

Nun berechnen wir \( t \) mit einem Taschenrechner oder einer entsprechenden Software:

\[ t \approx \frac{0.405465}{0.024693} \approx 16.405 \]

Da wir für die Anzahl der Jahre eine ganze Zahl benötigen und die Frage darauf abzielt, mindestens 1.500,00 € zu erreichen, müssen wir aufrunden:

\[ t \approx 17 \]

Es müssen also etwa 17 Jahre verstreichen, bis auf dem Konto mindestens 1.500,00 € angespart sein wird, wenn jährlich 2,5% Zinseszinsen hinzukommen.