Question - Compound Interest Calculation Question
Solution:
Um die Anzahl der Jahre zu ermitteln, die benötigt werden, damit ein Betrag von 1.000,00 € auf mindestens 1.500,00 € bei einer jährlichen Verzinsung von 2,5 % anwächst, verwenden wir die Formel für Zinseszinsen:
\[ K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n \]
Dabei ist:
- \( K_n \) der Endbetrag, den wir erzielen wollen (mindestens 1.500,00 €).
- \( K_0 \) der Anfangsbetrag (1.000,00 €).
- \( i \) der Zinssatz pro Periode (hier: 2,5 % pro Jahr, also \( i = 0,025 \)).
- \( n \) die Anzahl der Perioden (Jahre), die wir berechnen wollen.
Umgestellt nach \( n \) ergibt sich:
\[ n = \frac{\log(K_n / K_0)}{\log(1 + i)} \]
Setzen wir die gegebenen Werte ein:
\[ n = \frac{\log(1.500 / 1.000)}{\log(1 + 0,025)} \]
\[ n = \frac{\log(1,5)}{\log(1,025)} \]
Berechnen wir \( n \):
\[ n = \frac{0,1760912591}{0,0246926125} \approx 7,13 \]
Da eine teilweise Jahresangabe nicht sinnvoll ist, wenn nach ganzen Jahren gefragt wird, und der Betrag mindestens 1.500 € sein muss, runden wir auf das nächste ganze Jahr auf:
\[ n = 8 \]
Es sind also 8 volle Jahre erforderlich, damit das Guthaben auf mindestens 1.500 € bei einem Zinssatz von 2,5 % pro Jahr wächst.
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