Question - Compound Interest Calculation
Solution:
Um die Anzahl der Jahre zu berechnen, die erforderlich sind, damit ein Betrag von 1.000,00 € bei einem Zinssatz von 2,5% auf mindestens 1.500,00 € anwächst, verwenden wir die Formel für Zinseszinsen:
\[ K_n = K_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n \]
Dabei ist:
- \( K_n \) der zukünftige Kapitalbetrag (1.500,00 €)
- \( K_0 \) der anfängliche Kapitalbetrag (1.000,00 €)
- \( p \) der Zinssatz (2,5%)
- \( n \) die Anzahl der Jahre
Um die Anzahl der Jahre \( n \) zu bestimmen, lösen wir die Gleichung:
\[ 1.500 = 1.000 \cdot (1+\frac{2,5}{100})^n \]
Umformen der Gleichung ergibt:
\[ 1,5 = (1+0,025)^n \]
Anwendung des natürlichen Logarithmus (ln) auf beiden Seiten führt zu:
\[ \ln(1,5) = n \cdot \ln(1,025) \]
Nun lösen wir nach \( n \):
\[ n = \frac{\ln(1,5)}{\ln(1,025)} \]
Berechnen wir diesen Ausdruck:
\[ n \approx \frac{0,405465108}{0,024692615} \]
\[ n \approx 16,44 \]
Da \( n \) die Anzahl der Jahre ist und nicht als Bruchteil eines Jahres interpretiert werden kann, müssen wir auf die nächste ganze Zahl aufrunden, da die 0,44 ein Teil eines Jahres darstellen und man ein komplettes Jahr benötigt, um über die 1.500,00 € hinaus zu erreichen.
\[ n = 17 \]
Es würden also mindestens 17 Jahre benötigt, damit der Betrag auf dem Konto bei einem Zinssatz von 2,5 % auf mindestens 1.500,00 € anwächst.
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