Example Question - permutations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determining the Lexicographic Rank of a Specific Word in Permutations
<p>The word 'RACHIT' has 6 unique letters. To find the rank of the word 'RACHIT' when all the permutations of the letters are arranged in alphabetical order:</p> <p>1. Arrange the letters in alphabetical order: A, C, H, I, R, T</p> <p>2. Calculate the number of permutations that start with each letter before 'R' (the first letter of the given word), with the remaining 5 letters:</p> <p>For 'A': $5!$</p> <p>For 'C': $5!$</p> <p>For 'H': $5!$</p> <p>For 'I': $5!$</p> <p>3. Add these permutations to find the number of words before reaching the first word starting with 'R':</p> <p>Total permutations before 'R': $4 \times 5!$</p> <p>4. Now, calculate the number of permutations that start with 'RA', followed by each letter before 'C' (the second letter of 'RACHIT'), with the remaining 4 letters:</p> <p>For 'RAH', 'RAI', 'RAT': $3 \times 4!$</p> <p>Total permutations after 'RA' and before 'RAC': $3 \times 4!$</p> <p>5. The word 'RACHIT' is the next permutation following all those starting with 'RA' and not 'RAC'. Thus, it's the first permutation with the prefix 'RAC'.</p> <p>6. Add the total permutations to get the rank of 'RACHIT':</p> <p>Rank of RACHIT = $4 \times 5! + 3 \times 4! + 1$</p> <p>7. Calculate factorials and add them up:</p> <p>Rank of RACHIT = $4 \times 120 + 3 \times 24 + 1$</p> <p>Rank of RACHIT = $480 + 72 + 1$</p> <p>Rank of RACHIT = $553$</p> <p>Therefore, the rank of the word 'RACHIT' is 553.</p>
Calculation of the Rank of a Word in Alphabetical Order
<p>There are 5 letters in the word "RACHIT" of which "R" comes last alphabetically. We can find the rank by finding the number of words that can be formed with each of the preceding alphabets as the first letter and summing them up, then adding 1 for the given word itself.</p> <p>If "A" is the first letter, the remaining letters can be arranged in 4! ways.</p> <p>If "C" is the first letter, the remaining letters can be arranged in 4! ways.</p> <p>If "H" is the first letter, the remaining letters can be arranged in 4! ways.</p> <p>If "I" is the first letter, the remaining letters including one "R" can be arranged in 4! ways.</p> <p>When "R" is the starting letter, all previous permutations are sorted before the given word, "RACHIT".</p> <p>Now, to find the sum:</p> <p>Rank = 4! + 4! + 4! + 4!</p> <p>Rank = 4(4!)</p> <p>Rank = 4(24)</p> <p>Rank = 96</p> <p>The rank of the word "RACHIT" is the sum found plus 1 for the word itself, meaning the final rank is 96 + 1.</p> <p>Rank = 97</p>
Ranking Permutations of a Given Word
<p>The word RACHIT contains 6 distinct letters.</p> <p>To find the rank of the word RACHIT when the letters are arranged in dictionary order:</p> <p>Step 1: Arrange the letters of the word in alphabetical order: A, C, H, I, R, T.</p> <p>Step 2: Count the number of words starting with each letter that is before R alphabetically and with the rest in any order.</p> <p>Step 3: For A as the first letter, we can arrange the remaining 5 letters in \(5!\) ways.</p> <p>Step 4: For C as the first letter, the count is again \(5!\) ways.</p> <p>Step 5: For H as the first letter, the count is \(5!\) ways.</p> <p>Step 6: For I as the first letter, the count is \(5!\) ways.</p> <p>Step 7: With R as the first letter, the next letter could be A, which gives \(4!\) arrangements for the remaining letters.</p> <p>Therefore, the rank of RACHIT = the sum of all the arrangements calculated above</p> <p>\(= 4 \times 5! + 1 \times 4!\)</p> <p>\(= 4 \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) + 4 \times 3 \times 2 \times 1\)</p> <p>\(= 4 \times 120 + 24\)</p> <p>\(= 480 + 24\)</p> <p>\(= 504\)</p> <p>So, the rank of the word RACHIT is 504 when the letters are arranged in dictionary order.</p>
Analysis of a Mathematical Expansion and Counting Problem
<p>The question you've asked appears to be two separate math problems:</p> <p>1. For the number of words each of 3 vowels and 2 consonants that can be formed from "UTE" - This seems like a permutations problem, but the question seems incomplete as it does not state how many vowels and consonants are available to choose from. Without further information, this part of the question cannot be solved.</p> <p>2. For finding the 3rd term from the end in the expansion of \(\left(\frac{3}{x^2} - x^3\right)^7\) - This can be solved using the binomial theorem which states that \(n\)th term from the end is given by \(T_{(r+1)} = ^nC_r \cdot a^{(n-r)} \cdot b^r\) for the expansion of \((a + b)^n\), where \(n\) is the power and \(r\) is \(n-k\) if you're looking for the \(k\)th term from the end.</p> <p>We're looking for the 3rd term from the end (which is the same as the 5th term from the beginning since there are 7 terms in total), so \(r=7-3=4\). Using this, the term is:</p> <p>\[T_{(4+1)} = ^7C_4 \cdot \left(\frac{3}{x^2}\right)^{(7-4)} \cdot (x^3)^4\]</p> <p>\[T_5 = ^7C_4 \cdot \frac{3^3}{x^6} \cdot x^{12}\]</p> <p>\[T_5 = 35 \cdot \frac{27}{x^6} \cdot x^{12}\]</p> <p>\[T_5 = 35 \cdot 27 \cdot x^6\]</p> <p>\[T_5 = 945x^6\]</p> <p>So the 3rd term from the end in the expansion of \(\left(\frac{3}{x^2} - x^3\right)^7\) is \(945x^6\).</p>
Intersection and Union of Sets, Trigonometric Functions, Complex Numbers, and Permutations
<p>1. Let A be the set of those who teach physics, B the set of those who teach mathematics, and C the set of those who teach both. We can use the principle of inclusion and exclusion to find the number of teachers who teach either physics or mathematics.</p> <p>Let \( n(A) \) denote the number of physics teachers, \( n(B) \) the number of math teachers, and \( n(C) \) the number of teachers who teach both physics and mathematics.</p> <p>We are given \( n(A \cup B \cup C) = 12 \).</p> <p>We are also given that \( n(A \cup B) = n(A \cup C) \).</p> <p>To find \( n(A \cup B) \), we will calculate using inclusion-exclusion principle:</p> <p>\( n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \)</p> <p>But since \( A \cap B = C \), we have:</p> <p>\( n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(C) \)</p> <p>Similarly, for \( n(A \cup C) \), assuming no one teaches only math, we have:</p> <p>\( n(A \cup C) = n(A) + n(C) - n(A \cap C) \)</p> <p>And since \( A \cap C = C \), we have:</p> <p>\( n(A \cup C) = n(A) \)</p> <p>Given that \( n(A \cup B) = n(A \cup C) \), we can set the equations equal to each other and solve:</p> <p>\( n(A) + n(B) - n(C) = n(A) \)</p> <p>\( n(B) - n(C) = 0 \)</p> <p>\( n(B) = n(C) \)</p> <p>Now substituting the values we have:</p> <p>\( 7 + n(B) - 4 = 12 \)</p> <p>\( n(B) - 4 = 5 \)</p> <p>\( n(B) = 9 \)</p> <p>\( n(A) = 12 - n(B) = 12 - 9 = 3 \)</p> <p>2. To find \( B \) and \( R \) we use the following definitions:</p> <p>\( B = \{y | y = 2x + 7, x \in \mathbb{R} \text{ and } -5 \leq x \leq 5 \} \)</p> <p>The range of \( B \) is:</p> <p>When \( x = -5 \), \( y = 2(-5) + 7 = -3 \)</p> <p>When \( x = 5 \), \( y = 2(5) + 7 = 17 \)</p> <p>So, \( R(B) = [-3, 17] \)</p> <p>3. If \( \sin(\theta) = -\frac{4}{5} \) and \( \theta \) is in the third quadrant, both \( \sin(\theta) \) and \( \cos(\theta) \) are negative in the third quadrant. To find \( \cos(\theta) \), we use the Pythagorean identity \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \):</p> <p>\( \cos(\theta) = -\sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = -\frac{3}{5} \)</p> <p>So, the real numbers \( x' \) and \( y' \) for \( \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \) are:</p> <p>\( \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \)</p> <p>Therefore, \( x' = 4 \) and \( y' = 3 \).</p> <p>4. The word "INVOLUTE" has 3 vowels and 5 consonants. We can form different sets of 3 vowels and 2 consonants, and treat each set as a separate case for permutation.</p> <p>The number of permutations of 3 vowels (I, O, U) and 2 consonants out of 5 is given by:</p> <p>\( P(vowels) = \frac{3!}{(3-3)!} = 3! = 6 \)</p> <p>\( P(consonants) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 20 \)</p> <p>The total number of permutations is the product of the two:</p> <p>\( P(total) = P(vowels) \times P(consonants) = 6 \times 20 = 120 \)</p> <p>Each of these permutations can be arranged in 5! ways because the order of letters within the set matters.</p> <p>So, the total number of words is \( P(total) \times 5! = 120 \times 5! = 120 \times 120 = 14400 \).</p>
Permutations of People Seating at a Rectangular Table
For the captain to be seated at one end of the rectangular table: - There are 2 choices for which end the captain sits at. - There are 9! ways to arrange the remaining people on the other seats. Hence, the total number of ways is \( 2 \times 9! \). <p>\( 2 \times 9! = 2 \times 362,880 = 725,760 \)</p>
Painting Different Colored Chairs
Ein Stuhl mit vier Stuhlbeinen soll gestrichen werden. Dabei sollen die Sitzfläche und die Lehne grau gestrichen werden und für die Stuhlbeine stehen folgende Farben zur Auswahl: Blau, Türkis, Lila, Gelb, Grün und Rot. Jedes Stuhlbein soll einfarbig, nicht gemustert gestrichen werden. Wie viele unterschiedliche Stühle sind möglich, wenn a. alle Kombinationen erlaubt sind, d.h. auch viermal dieselbe Farbe? Für diesen Fall würde die Reihenfolge, in der die Farben auf die Beine aufgetragen werden, nicht betrachtet. Da es sechs verschiedene Farben gibt und jede der vier Beine mit einer dieser Farben gestrichen werden kann, ergibt sich die Möglichkeit von 6^4 verschiedene Kombinationen. 6^4 = 6 * 6 * 6 * 6 = 1296 Es gibt 1296 unterschiedliche Möglichkeiten. b. höchstens drei Farben gleich sein sollen? Hier müssen wir alle Möglichkeiten berechnen und die Fälle abziehen, bei denen alle vier Stuhlbeine dieselbe Farbe haben. Es gibt sechs Fälle, in denen alle vier Beine dieselbe Farbe haben (einer für jede Farbe). Also, 1296 (gesamte Möglichkeiten von Teil a) - 6 (Fälle, wo alle Beine dieselbe Farbe haben) = 1290 Es gibt 1290 unterschiedliche Möglichkeiten, wenn höchstens drei Beine die gleiche Farbe haben. c. vier verschiedene Farben verwendet werden sollen? Wenn jedes Stuhlbein eine unterschiedliche Farbe haben soll, dann berechnen wir das als eine Permutation von 4 Farben aus den 6 verfügbaren, da die Reihenfolge hier wichtig ist (unterschiedliche Reihenfolgen ergeben unterschiedliche Stühle). Die Anzahl der Permutationen von 4 aus 6 ist 6P4, was berechnet wird als: 6P4 = 6! / (6-4)! = 6 * 5 * 4 * 3 = 360 Es gibt 360 unterschiedliche Möglichkeiten, wenn vier verschiedene Farben verwendet werden sollen.
Unique Number Combinations from Ziffernkarten
Die Aufgabe lautet: 3. Aus den sechs Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Prinzip von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen.) a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen. b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer informativen Übersicht dar. Zu a): Wir lösen diese Aufgabe durch Kombinatorik. Bei einer höchstens dreistelligen Zahl und den gegebenen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5 haben wir verschiedene Fälle zu betrachten – einstellige, zweistellige und dreistellige Zahlen. Einstellige Zahlen: Hier gibt es 6 Möglichkeiten (0 bis 5). Zweistellige Zahlen: Hier müssen wir die Kombinationen aus zwei unterschiedlichen Ziffern wählen. Da die Zahlen von links nach rechts größer werden müssen, ist die Position jeder gezogenen Ziffer relevant, das bedeutet, es handelt sich um Permutationen ohne Wiederholung. Für die erste Ziffer haben wir 5 Möglichkeiten (1 bis 5, da wir eine führende Null ausschließen) und für die zweite Ziffer bleiben dann 4 Möglichkeiten. Das ergibt 5 * 4 = 20 zweistellige Zahlen. Dreistellige Zahlen: Hierfür wählen wir drei unterschiedliche Ziffern aus, wobei wiederum keine Ziffer mehrfach vorkommen darf und die Zahl von links nach rechts größer werden muss. Für die erste Ziffer haben wir 4 Möglichkeiten (1 bis 4), für die zweite Ziffer dann 3 verbleibende Möglichkeiten und für die dritte Ziffer noch 2 Möglichkeiten. Das ergibt 4 * 3 * 2 = 24 dreistellige Zahlen. Insgesamt gibt es also 6 (einstellige) + 20 (zweistellige) + 24 (dreistellige) = 50 Möglichkeiten, Zahlen zu bilden. Zu b): Für die Darstellung der Zahlen in einer informativen Übersicht können wir sie in drei Gruppen unterteilen: einstellig, zweistellig und dreistellig. Eine Möglichkeit, wie man das darstellen könnte, ist eine Liste oder Tabelle, die alle Zahlen in aufsteigender Reihenfolge zeigt, jeweils getrennt für einstellige, zweistellige und dreistellige Zahlen. Beispiel für eine solche Darstellung: - Einstellige Zahlen: 0, 1, 2, 3, 4, 5 - Zweistellige Zahlen: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 - Dreistellige Zahlen: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 Hierbei sind alle zweistelligen Kombinationen sowie alle dreistelligen Permutationen enthalten, die die Bedingungen erfüllen.
Calculating Four-Digit Numbers Meeting Criteria
Wir sollen die Anzahl der vierstelligen Zahlen berechnen, die folgende Kriterien erfüllen: a. Die ausschließlich aus unterschiedlichen Ziffern bestehen. b. Die Ziffer 4 enthalten. a. Um die Anzahl der vierstelligen Zahlen zu finden, die alle aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, müssen wir die Permutationen der 10 möglichen Ziffern (0 bis 9) für jede Stelle der Zahl berücksichtigen. Da die erste Ziffer (die Tausenderstelle) nicht Null sein kann, gibt es 9 mögliche Zahlen für die erste Stelle. Für die zweite Stelle (die Hunderterstelle) bleiben nur noch 9 Ziffern übrig (da eine bereits verwendet wurde und die Null jetzt zulässig ist), für die dritte Stelle bleiben 8 Optionen und für die vierte Stelle 7 Optionen. Also: 9 (Tausenderstelle) * 9 (Hunderterstelle) * 8 (Zehnerstelle) * 7 (Einerstelle) = 4536 verschiedene vierstellige Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen. b. Um die Anzahl der vierstelligen Zahlen zu berechnen, die die Ziffer 4 enthalten, können wir das Problem in mehrere Fälle unterteilen, abhängig davon, an welcher Stelle sich die 4 befindet: 1. Fall: Die 4 ist an der ersten Stelle. Dann haben wir für die anderen drei Stellen 9 Optionen (da die 4 schon verwendet wird): 1 (für die 4 an der ersten Stelle) * 9 (Hunderterstelle) * 9 (Zehnerstelle) * 9 (Einerstelle) = 729 Möglichkeiten. 2. Fall: Die 4 ist an der zweiten Stelle. Da die erste Stelle nicht Null sein kann, bleiben 8 Optionen für die erste Stelle und wieder jeweils 9 für die anderen beiden Stellen: 8 (Tausenderstelle) * 1 (für die 4 an der zweiten Stelle) * 9 * 9 = 648 Möglichkeiten. 3. Fall: Die 4 ist an der dritten Stelle. Dafür gibt es wiederum 8 Optionen für die erste Stelle und 9 für beide der restlichen Stellen: 8 * 9 (für die ersten zwei Stellen) * 1 (für die 4 an der dritten Stelle) * 9 = 648 Möglichkeiten. 4. Fall: Die 4 ist an der vierten Stelle. Hier gibt es ebenfalls 8 Optionen für die erste Stelle und 9 für die anderen beiden Stellen, bevor die 4 gesetzt wird: 8 * 9 * 9 (für die ersten drei Stellen) * 1 (für die 4 an der vierten Stelle) = 648 Möglichkeiten. Insgesamt haben wir für alle Fälle: Fall 1 + Fall 2 + Fall 3 + Fall 4 = 729 + 648 + 648 + 648 = 2673 verschiedene vierstellige Zahlen, die die Ziffer 4 enthalten. Das ergibt für: a. 4536 Zahlen b. 2673 Zahlen
Combinatorics Problem: PIN Creation and Permutations
Die Aufgabe lautet: a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen PIN aus 4 Ziffern zu erstellen, wenn es sich um unterschiedliche Ziffern handeln soll? Welcher kombinatorischen Grundsituation ist die obige Aufgabenstellung zuzuordnen? Kreuzen Sie den richtigen Term an und begründen Sie. Die Optionen sind: i) \( n^k \) ii) \( \frac{n!}{(n-k)!} \) iii) \( \binom{n}{k} \) iv) \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) Die Antwort auf diese Frage ist Option ii), \( \frac{n!}{(n-k)!} \), weil dies eine Permutation ohne Wiederholung darstellt. Da wir 4 Ziffern für den PIN auswählen, ohne sie zu wiederholen, aus einer Gesamtmenge von 10 möglichen Ziffern (0-9), ergibt sich das durch: Es gibt 10 Optionen für die erste Ziffer, 9 für die zweite, 8 für die dritte und 7 für die vierte Ziffer. Also: \( P(10, 4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \) Da wir die untereinanderfolgenden natürlichen Zahlen von 10 aufwärts zählen und mit 7 stoppen. b) Formulieren Sie die obige Aufgabenstellung so um, dass sie sich einer der anderen drei Grundsituationen zuordnen lässt. Geben Sie den dazugehörigen Term (mit eingesetzten Zahlen) an. Einer der anderen drei Grundsituationen könnte eine Kombination ohne Wiederholung sein. Das bedeutet, dass die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird. Wenn wir also statt des 4-stelligen PINs eine Auswahl von 4 Ziffern treffen wollten, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie angeordnet sind, dann würde das einer Kombination entsprechen. Option iii), \( \binom{n}{k} \), ist der Term, der diese Situation repräsentiert: \( \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \times 6!} \) Das wäre der Fall, wenn man zum Beispiel 4 Ziffern für eine Lotterieziehung aussucht, bei der die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, keine Rolle spielt.
Combinatorics and Arrangements of People
Die Aufgabe scheint sich mit Kombinatorik zu befassen, insbesondere mit Anordnungen von Personen. Sie besteht aus drei Teilaufgaben. (a) Sebastian, Clara, Miriam, Anne und Peter möchten ein Erinnerungsfoto machen. Es gibt 120 Möglichkeiten, nebeneinander zu stehen. Zeigen Sie das. Um zu zeigen, dass es 120 Möglichkeiten gibt, können wir faktorielle Berechnungen verwenden. Wenn fünf Personen sich in einer Reihe anordnen möchten, gibt es für die erste Person 5 Möglichkeiten, für die darauf folgende Person 4 Möglichkeiten (da eine Position bereits belegt ist), danach für die dritte Person 3 Möglichkeiten, für die vierte Person 2 Möglichkeiten und für die letzte Person nur eine Möglichkeit. Die Gesamtzahl der Anordnungen \(N\) wird dann berechnet mit: \[ N = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \] Diese Rechnung zeigt, dass es 120 verschiedene Möglichkeiten gibt, wie sich die fünf Personen für ein Foto nebeneinander aufstellen können. (b) Sebastian will unbedingt links stehen, für die anderen gibt es noch 24 Möglichkeiten. Zeigen Sie das. Wenn Sebastian fest auf der linken Seite steht, bleiben nur noch vier weitere Personen, die sich anordnen müssen. Ähnlich wie in Teilaufgabe (a) nehmen wir nun das Faktorielle der verbleibenden vier Personen: \[ N = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24 \] Das zeigt, dass es 24 Möglichkeiten gibt, die anderen Personen anzuordnen, wenn Sebastian eine feste Position hat. (c) Wenn Sebastian rechts steht, gibt es für die anderen auch 24 Möglichkeiten. Wenn Sebastian am Rand gibt es also insgesamt \(2 \times 4! = 2 \times 24 = 48\) Möglichkeiten. Jedes andere Kind könnte auch am Rand stehen. Also gibt es insgesamt \(5 \times 48 = 240\) Möglichkeiten, oder? Diese Annahme ist falsch, weil sie doppeltes Zählen von Szenarien verursacht. Hier ist der Denkfehler: Für jede der vier anderen Personen gibt es ebenfalls \(2 \times 4!\) Möglichkeiten (24 Möglichkeiten, wenn die Person links steht, und 24, wenn sie rechts steht). Aber für jede der Positionen von Sebastian an einem Ende (2 Positionen) haben wir bereits alle 24 Möglichkeiten der anderen Anordnungen gezählt. Wenn wir nun jede andere Person auch an jedem Ende platzieren und wieder 24 Anordnungen zählen, würden wir die Fälle wiederholen, die wir bereits für Sebastian gezählt haben. Deshalb würde die Multiplikation mit 5 zu vielen zu einer Überzählung führen. Die korrekte Rechnung wäre, die zwei Möglichkeiten für Sebastian am Rand (links oder rechts) zu nehmen und dann für die verbleibenden vier Personen 24 Möglichkeiten zu berechnen, was zu den ursprünglichen 48 Möglichkeiten führt. Da diese Überlegung für jede der fünf Personen gilt, haben wir die Fälle bereits komplett abgedeckt. Die Lösung aus Teilaufgabe (a) mit 120 Möglichkeiten ist bereits die Gesamtzahl aller möglichen Anordnungen, unabhängig davon, wer am Rand steht. Es gibt somit keine weiteren hinzuzufügenden Möglichkeiten.
Calculating Permutations and Combinations for Different Design Scenarios
Um die Lösungen für die beiden Fragen in der Abbildung zu finden, schauen wir uns zunächst jede Frage einzeln an: e. Herr Meier möchte auch einen Pullover stricken. Er hat genau wie seine Frau fünf Farben zur Auswahl. Allerdings möchte Herr Meier nicht, dass sich eine Farbe wiederholt. Wie viele unterschiedliche Pullover kann Herr Meier stricken? Diese Frage bezieht sich auf Kombinationen ohne Wiederholungen. Da Herr Meier insgesamt fünf verschiedene Farben hat und er jede Farbe nur einmal verwenden möchte, ist dies eine Kombination ohne Wiederholung, oder eine Permutation, da die Reihenfolge, in der die Farben ausgewählt werden, von Bedeutung ist. Die Anzahl der möglichen Permutationen von n Elementen ist n! (n Fakultät), was bedeutet, dass wir das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu n nehmen. Für Herrn Meier bedeutet das 5! (5 Fakultät): 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Herr Meier kann also 120 unterschiedliche Pullover stricken. f. Familie Meier möchte ihren Garten neu gestalten. Dafür möchten die Meiers einen Zaun, einen Baum, drei gleiche Blumenkübel und drei gleiche Blumen für in die Kübel kaufen. Im Baumarkt gibt es 3 unterschiedliche Zäune, 15 Bäume, 4 unterschiedliche Blumenkübel und 20 Blumen sorten. Wie viele Gestaltungsmöglichkeiten hat Familie Meier? Hier müssen wir das Produkt aus den Anzahlen der Auswahlmöglichkeiten für jeden Artikel nehmen, da jede Wahl unabhängig von den anderen ist (dies ist das Prinzip der Produktregel). Für den Zaun gibt es 3 Möglichkeiten, für den Baum gibt es 15 Möglichkeiten, für die Blumenkübel gibt es 4 Möglichkeiten (und da alle drei gleich sein sollen, wählen wir nur einmal), für die Blumensorten gibt es 20 Möglichkeiten (auch hier wählen wir nur einmal, da alle drei Blumen gleich sein sollen). Also multiplizieren wir die Anzahlen: 3 Zäune × 15 Bäume × 4 Blumenkübel × 20 Blumenarten = 3 × 15 × 4 × 20 = 3600 Familie Meier hat also 3600 verschiedene Gestaltungsmöglichkeiten für ihren Garten.
Combinatorics Formulas: Combinations and Permutations
Das Bild zeigt eine Tabelle mit den wichtigsten Formeln für Kombinatorik: Kombinationen und Variationen, jeweils mit und ohne Wiederholung und ob die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung ist oder nicht. Die mathematischen Formeln in der Tabelle sind: - Kombination ohne Wiederholung (Reihenfolge nicht bedeutsam, keine Wiederholungen): \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - Kombination mit Wiederholung (Reihenfolge nicht bedeutsam, Wiederholungen zugelassen): \(\binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\) - Variation ohne Wiederholung (Reihenfolge bedeutsam, keine Wiederholungen): \(\frac{n!}{(n-k)!}\) - Variation mit Wiederholung (Reihenfolge bedeutsam, Wiederholungen zugelassen): \(n^k\) Die Formeln werden verwendet, um die Anzahl der möglichen Kombinationen oder Variationen zu bestimmen, je nachdem, ob die Reihenfolge wichtig ist und ob Elemente wiederholt werden dürfen. Die Aufgabe scheint zu sein, zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten es in verschiedenen Situationen gibt. Leider kann ich den Text der Aufgaben nicht vollständig lesen, weil nicht der ganze Text im Bild sichtbar ist. Jedoch kann ich erklären, wie die Formeln funktionieren: 1. Ein Sportverein mit 35 Mitgliedern möchte 6 Mitglieder für einen Wettkampf aussuchen. Dies wäre eine Kombination ohne Wiederholung, weil es nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Teammitglieder gewählt werden und jedes Mitglied nur einmal gewählt werden kann. Die Formel hierfür wäre: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), wobei n die Anzahl der Gesamtmitglieder (35) ist und k die Anzahl der ausgewählten Mitglieder (6). 2. Die anderen Teilaufgaben kann ich ohne den vollständigen Text leider nicht lösen. Wenn Sie mir den vollständigen Aufgabentext geben, könnte ich Ihnen eine ausführliche Lösung anbieten.
Permutations and Combinations for Selecting Chairperson and Vice-Chair from a Mixed Group
Die Aufgabe lautet: Ein Ausschuss aus vier Frauen und drei Männern wählt eine Person zum Vorsitz und eine Person zur Stellvertretung. a. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt? b. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn beide gleichen Geschlechts sein sollen? c. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die beiden unterschiedlichen Geschlechts sein sollen? d. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn mindestens eine Frau dabei sein soll? e. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn mindestens ein Mann dabei sein soll? Um diese Fragen zu beantworten, nutzen wir verschiedene kombinatorische Ansätze: a. Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Menschen (Vorsitz und Stellvertreter) aus einer Gruppe von sieben Personen auszuwählen, wobei die Reihenfolge wichtig ist (d.h., es handelt sich um eine Permutation), ist \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \). In diesem Fall ist \( n = 7 \) und \( k = 2 \): \[ P(7, 2) = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42 \] Es gibt also insgesamt 42 Möglichkeiten. b. Wenn beide Personen des gleichen Geschlechts sein sollen, gibt es zwei separate Fälle zu betrachten – zwei Frauen oder zwei Männer. Für zwei Frauen: \[ P(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \] Für zwei Männer: \[ P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 3 \times 2 = 6 \] Addieren wir diese beiden Fälle, erhalten wir insgesamt \( 12 + 6 = 18 \) Möglichkeiten. c. Wenn die beiden Personen unterschiedlichen Geschlechts sein sollen, gibt es wieder zwei Fälle – zuerst eine Frau und dann ein Mann, oder zuerst ein Mann und dann eine Frau. Für eine Frau gefolgt von einem Mann: \[ 4 \times 3 = 12 \] Für einen Mann gefolgt von einer Frau: \[ 3 \times 4 = 12 \] Zusammengefasst ergibt das \( 12 + 12 = 24 \) Möglichkeiten. d. Mindestens eine Frau bedeutet, dass wir entweder eine Frau und einen Mann oder beide Frauen haben könnten. Wir haben diese Berechnungen bereits durchgeführt in (b) und (c). Gleiche Geschlechtskombinationen (beide Frauen): \[ 12 \] (wie in b berechnet) Verschiedene Geschlechtskombinationen (eine Frau, ein Mann): \[ 24 \] (wie in c berechnet) Kombinieren wir diese beiden Möglichkeiten, ergibt das \( 12 + 24 = 36 \) Möglichkeiten. e. Mindestens ein Mann bedeutet, dass wir entweder einen Mann und eine Frau oder beide Männer haben könnten. Gleiche Geschlechtskombinationen (beide Männer): \[ 6 \] (wie in b berechnet) Verschiedene Geschlechtskombinationen (ein Mann, eine Frau): \[ 24 \] (wie in c berechnet) Kombinieren wir diese beiden Möglichkeiten, ergibt das \( 6 + 24 = 30 \) Möglichkeiten. Zusammenfassend gibt es: a. 42 Möglichkeiten insgesamt. b. 18 Möglichkeiten für das gleiche Geschlecht. c. 24 Möglichkeiten für unterschiedliche Geschlechter. d. 36 Möglichkeiten, wenn mindestens eine Frau dabei sein soll. e. 30 Möglichkeiten, wenn mindestens ein Mann dabei sein soll.
Combinations and Permutations with Three-Digit Numbers
Diese Aufgabe beschäftigt sich mit dem Konzept von Kombinationen und Permutationen. Für die spezifische Frage Nummer 3 geht es darum, dreistellige Zahlen zu bilden, bei denen keine Ziffer mehrfach vorkommt und die Zahlen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. Hier ist die Lösung der Frage auf Deutsch: a. Um zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dreistellige Zahlen mit den gegebenen Bedingungen zu bilden, betrachten wir zuerst die Auswahl der Ziffern. Wir haben insgesamt 6 Ziffern zur Auswahl: 0, 1, 2, 3, 4 und 5. Da keine Ziffer wiederholt werden kann und die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge sein müssen, ist die Ziffer, die wir zuerst wählen, immer die kleinste, die zweite Wahl ist die mittlere und die dritte Wahl ist die größte Ziffer. Wir wählen die erste Ziffer: Es gibt fünf Möglichkeiten, weil wir die 0 nicht als erste Ziffer einer dreistelligen Zahl verwenden können. Wir wählen die zweite Ziffer: Nach der Auswahl der ersten Ziffer gibt es noch vier verbleibende Ziffern zur Auswahl. Wir wählen die dritte Ziffer: Es bleiben nun drei Ziffern zur Auswahl. Die Anzahl der Möglichkeiten dreistellige Zahlen zu bilden, ohne Ziffernwiederholung und mit steigender Sortierung der Zahlen, ist gleich der Anzahl der möglichen Kombinationen von drei unterschiedlichen Ziffern aus einer Menge von fünf Ziffern (ohne die 0 zu berücksichtigen). Die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung lautet C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), wobei n die Gesamtzahl der verfügbaren Optionen ist und k die Anzahl der zu wählenden Optionen. C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10. Es gibt also insgesamt 10 Möglichkeiten, die Zahlen zu bilden. b. Um die Zahlen zu präsentieren, listen wir einfach alle Kombinationen von drei Ziffern auf, die diese Bedingungen erfüllen: - 123 - 124 - 125 - 134 - 135 - 145 - 234 - 235 - 245 - 345 Dies sind alle dreistelligen Zahlen, die aus den Ziffern 0 bis 5 gebildet werden können, ohne Ziffernwiederholung und bei denen jede folgende Ziffer größer als die vorherige ist.
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