Question - Permutations and Combinations for Selecting Chairperson and Vice-Chair from a Mixed Group
Solution:
Die Aufgabe lautet:Ein Ausschuss aus vier Frauen und drei Männern wählt eine Person zum Vorsitz und eine Person zur Stellvertretung.a. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt?b. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn beide gleichen Geschlechts sein sollen?c. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die beiden unterschiedlichen Geschlechts sein sollen?d. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn mindestens eine Frau dabei sein soll?e. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn mindestens ein Mann dabei sein soll?Um diese Fragen zu beantworten, nutzen wir verschiedene kombinatorische Ansätze:a. Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Menschen (Vorsitz und Stellvertreter) aus einer Gruppe von sieben Personen auszuwählen, wobei die Reihenfolge wichtig ist (d.h., es handelt sich um eine Permutation), ist $$ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $$. In diesem Fall ist $$ n = 7 $$ und $$ k = 2 $$:\[ P(7, 2) = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42 \] Es gibt also insgesamt 42 Möglichkeiten.b. Wenn beide Personen des gleichen Geschlechts sein sollen, gibt es zwei separate Fälle zu betrachten – zwei Frauen oder zwei Männer. Für zwei Frauen:\[ P(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \]Für zwei Männer:\[ P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 3 \times 2 = 6 \]Addieren wir diese beiden Fälle, erhalten wir insgesamt $$ 12 + 6 = 18 $$ Möglichkeiten.c. Wenn die beiden Personen unterschiedlichen Geschlechts sein sollen, gibt es wieder zwei Fälle – zuerst eine Frau und dann ein Mann, oder zuerst ein Mann und dann eine Frau.Für eine Frau gefolgt von einem Mann:\[ 4 \times 3 = 12 \]Für einen Mann gefolgt von einer Frau:\[ 3 \times 4 = 12 \]Zusammengefasst ergibt das $$ 12 + 12 = 24 $$ Möglichkeiten.d. Mindestens eine Frau bedeutet, dass wir entweder eine Frau und einen Mann oder beide Frauen haben könnten. Wir haben diese Berechnungen bereits durchgeführt in (b) und (c). Gleiche Geschlechtskombinationen (beide Frauen):\[ 12 \] (wie in b berechnet)Verschiedene Geschlechtskombinationen (eine Frau, ein Mann):\[ 24 \] (wie in c berechnet)Kombinieren wir diese beiden Möglichkeiten, ergibt das $$ 12 + 24 = 36 $$ Möglichkeiten.e. Mindestens ein Mann bedeutet, dass wir entweder einen Mann und eine Frau oder beide Männer haben könnten. Gleiche Geschlechtskombinationen (beide Männer):\[ 6 \] (wie in b berechnet)Verschiedene Geschlechtskombinationen (ein Mann, eine Frau):\[ 24 \] (wie in c berechnet)Kombinieren wir diese beiden Möglichkeiten, ergibt das $$ 6 + 24 = 30 $$ Möglichkeiten.Zusammenfassend gibt es:a. 42 Möglichkeiten insgesamt.b. 18 Möglichkeiten für das gleiche Geschlecht.c. 24 Möglichkeiten für unterschiedliche Geschlechter.d. 36 Möglichkeiten, wenn mindestens eine Frau dabei sein soll.e. 30 Möglichkeiten, wenn mindestens ein Mann dabei sein soll.
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