Question - Unique Number Combinations from Ziffernkarten
Solution:
Die Aufgabe lautet:3. Aus den sechs Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Prinzip von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen.)a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen.b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer informativen Übersicht dar.Zu a): Wir lösen diese Aufgabe durch Kombinatorik. Bei einer höchstens dreistelligen Zahl und den gegebenen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5 haben wir verschiedene Fälle zu betrachten – einstellige, zweistellige und dreistellige Zahlen.Einstellige Zahlen: Hier gibt es 6 Möglichkeiten (0 bis 5).Zweistellige Zahlen: Hier müssen wir die Kombinationen aus zwei unterschiedlichen Ziffern wählen. Da die Zahlen von links nach rechts größer werden müssen, ist die Position jeder gezogenen Ziffer relevant, das bedeutet, es handelt sich um Permutationen ohne Wiederholung. Für die erste Ziffer haben wir 5 Möglichkeiten (1 bis 5, da wir eine führende Null ausschließen) und für die zweite Ziffer bleiben dann 4 Möglichkeiten. Das ergibt 5 * 4 = 20 zweistellige Zahlen.Dreistellige Zahlen: Hierfür wählen wir drei unterschiedliche Ziffern aus, wobei wiederum keine Ziffer mehrfach vorkommen darf und die Zahl von links nach rechts größer werden muss. Für die erste Ziffer haben wir 4 Möglichkeiten (1 bis 4), für die zweite Ziffer dann 3 verbleibende Möglichkeiten und für die dritte Ziffer noch 2 Möglichkeiten. Das ergibt 4 * 3 * 2 = 24 dreistellige Zahlen.Insgesamt gibt es also 6 (einstellige) + 20 (zweistellige) + 24 (dreistellige) = 50 Möglichkeiten, Zahlen zu bilden.Zu b): Für die Darstellung der Zahlen in einer informativen Übersicht können wir sie in drei Gruppen unterteilen: einstellig, zweistellig und dreistellig. Eine Möglichkeit, wie man das darstellen könnte, ist eine Liste oder Tabelle, die alle Zahlen in aufsteigender Reihenfolge zeigt, jeweils getrennt für einstellige, zweistellige und dreistellige Zahlen.Beispiel für eine solche Darstellung:- Einstellige Zahlen: 0, 1, 2, 3, 4, 5- Zweistellige Zahlen: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45- Dreistellige Zahlen: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345Hierbei sind alle zweistelligen Kombinationen sowie alle dreistelligen Permutationen enthalten, die die Bedingungen erfüllen.
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