Example Question - partial derivatives
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analyzing Methods to Find Exact Differential Equations
Para la parte \( a \): <p>1. Verificamos si la ecuación es exacta tal y como está. Para ello calculamos \( \frac{\partial M}{\partial y} \) y \( \frac{\partial N}{\partial x} \).</p> <p>\( M(x, y) = xe^{xy} + 2xy \)</p> <p>\( N(x, y) = \frac{1}{x} \)</p> <p>\( \frac{\partial M}{\partial y} = xe^{xy} \cdot x + 2x \)</p> <p>\( \frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{1}{x^2} \)</p> <p>2. Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación no es exacta.</p> <p>3. Buscamos un factor integrante que dependa solo de x o solo de y, tal que convierta la ecuación en exacta.</p> <p>Para un factor integrante \( \mu(x) \), la condición para que sea exacta es: \( \frac{1}{N}\left( \frac{\partial (M\mu)}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) = \frac{d\mu}{dx} \)</p> <p>Resolvemos para encontrar \( \mu(x) \) que satisface esta condición.</p> Para la parte \( b \): <p>1. Similarmente, verificamos si la ecuación es exacta como está.</p> <p>\( M(x, y) = x^{-1/2}y^{1/2} + \frac{x}{x^2 + y^2} \)</p> <p>\( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{2}x^{-1/2}y^{-1/2} - \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \)</p> <p>Como no se proporciona \( N(x, y) \), no podemos proceder sin esa información.</p> <p>2. Si \( N(x, y) \) ha sido proporcionado, calcularíamos \( \frac{\partial N}{\partial x} \) y verificaríamos si \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \).</p> <p>3. Si la ecuación no es exacta, buscaríamos un factor integrante adecuado de la misma manera que en la parte \( a \).</p>
Partial Derivatives of the Function
题目要求我们计算函数 \( z = x\ln(y) \) 的混合偏导数 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} \) 和 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} \)。 首先，我们需要找到 \( z \) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的一阶偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \ln(y) \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y} \] 然后，我们对第一个偏导数 \( \frac{\partial z}{\partial x} \) 分别对 \( x \) 和 \( y \) 求导： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\ln(y)) = \frac{1}{y} \] 因为 \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0 \)， 所以 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} = 0 \)。 再对 \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y} \) 关于 \( y \) 求导： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x}{y}\right) = -\frac{x}{y^2} \] 然后对这个结果关于 \( x \) 求导： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{1}{y^2} \] 所以， \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} : \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} = 0 : -\frac{1}{y^2} \] 既然 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} = 0 \)，这个比值就是未定义的，因为我们不能除以零。所以最后的结果是未定义的。
Partial Derivatives of ln(xy)
给定函数 \( z = \ln(xy) \)，我们要计算 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} \) 和 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} \)。 首先，找到第一次偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x} \] 然后，找到第二次偏导数关于 \( x \)： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \] 接下来，对 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\) 关于 \( y \) 偏导： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 0 \] 因为 \(-\frac{1}{x^2}\) 是仅关于 \( x \) 的函数，并不依赖于 \( y \)，所以它的关于 \( y \) 的偏导数为 0。 接下来找 \( z \) 关于 \( y \) 的第一次偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y} \] 然后我们计算关于 \( y \) 的第二次偏导数： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y^2} \] 现在，我们要针对 \( x \) 偏导这个结果： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{1}{y^2}\right) = 0 \] 同样的，因为 \(-\frac{1}{y^2}\) 仅是 \( y \) 的函数，和 \( x \) 无关，所以它的关于 \( x \) 的偏导数为 0。 所以最后，我们得到的结果是： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = 0 \] \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = 0 \]
Partial Derivatives of a Logarithmic Function
为了求解这个偏微分方程，我们首先需要计算出 \(\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}\) 和 \(\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}\)。 给定函数 \(z = x \ln(y)\)，我们首先对 \(x\) 和 \(y\) 进行偏微分。 第一步，计算 \(z\) 对 \(x\) 的一阶偏导数： \[\frac{\partial z}{\partial x} = \ln(y) + x \cdot \frac{1}{y} \cdot 0 = \ln(y)\] 第二步，计算 \(z\) 对 \(y\) 的一阶偏导数： \[\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{y}\] 第三步，求第一步结果对 \(x\) 的二阶偏导数： \[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0\] 第四步，求第二步结果对 \(y\) 的二阶偏导数： \[\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -x \cdot \frac{1}{y^2}\] 第五步，求第二步结果对 \(x\) 的混合二阶偏导数： \[\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x \cdot \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y}\] 第六步，计算对 \(x\) 的二阶偏导数和 \(y\) 的一阶偏导数的混合三阶偏导数： \[\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \right) = \frac{\partial}{\partial y}(0) = 0\] 第七步，计算对 \(x\) 的一阶偏导数和 \(y\) 的二阶偏导数的混合三阶偏导数： \[\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( -x \cdot \frac{1}{y^2} \right) = -\frac{1}{y^2}\] 所以，我们得到： \[\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = 0\] \[\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = -\frac{1}{y^2}\] 我们现在可以将两个结果代入方程计算最终的答案： \[\frac{2024}{0} - \frac{0}{-\frac{1}{y^2}} = \infty\] 但这个除法没有定义，因为除数是零。因此，给出的方程没有数学意义。
Calculating Differentials for a Given Function
La pregunta está pidiendo calcular el diferencial \( dy \) y el diferencial \( d_{y} \) para la función \( f(x)=e^{2ln(x^{2} + 1)} \sin{(x^{2} - 2y)} \) dado que \( \Delta x = 0,02 \). Para encontrar \( dy \), necesitamos calcular la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \) y luego usarla para multiplicarla por el cambio en \( x \), que es \( \Delta x \). Para encontrar \( df \), necesitamos calcular el gradiente de \( f \), es decir, necesitamos encontrar tanto la derivada parcial con respecto a \( x \) como la derivada parcial con respecto a \( y \), y después usarlas para multiplicar por los diferenciales correspondientes \( dx \) y \( dy \). Voy a proceder a calcular \( \frac{\partial f}{\partial x} \) y \( \frac{\partial f}{\partial y} \). Primero, calculamos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{2ln(x^{2} + 1)} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \] Para esto, primero notamos que \( e^{2ln(x^{2} + 1)} = (x^{2} + 1)^{2} \), simplificando el cálculo. \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^{2} + 1)^{2} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \] Usamos la regla de la cadena y la regla del producto para esta derivada: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2(x^{2} + 1) \cdot 2x \sin{(x^{2} - 2y)} + (x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \cdot 2x \] \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \] Ahora calculamos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (x^{2} + 1)^{2} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \] Necesitamos usar la regla de la cadena para esta derivada: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = -2(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \] Con estas derivadas encontradas, ahora podemos calcular \( dy \) y \( df \): Para \( dy \), usando \( \Delta x \) en lugar \( dx \), ya que no se proporciona un valor para \( dy \), tendríamos algo así: \[ dy = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \Delta x \] \[ dy = \left( 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \right) \cdot 0,02 \] Para \( df \) (también notado como \( d_{y} \) en la pregunta, pero esto parece ser un error tipográfico, ya que \( d_{y} \) normalmente representaría una derivada parcial con respecto a \( y \), no un diferencial completo), se calcularía de la siguiente manera: \[ df = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot dx + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot dy \] \[ df = \left( 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \right) \cdot dx - 2(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \cdot dy \] Sin valores específicos para \( x \), \( y \), \( dx \), y \( dy \) (excepto \( \Delta x \)), no podemos dar un valor numérico a \( dy \) y \( df \). Debes reemplazar \( dx \) con \( \Delta x \) y usar los valores de \( x \) y \( y \) dados en el problema para encontrar los valores numéricos de \( dy \) y \( df \).
Approximating Change using Differentials
To approximate the change in \( f(x, y, z) = 3x^2 - yz + 2 \) when \( (x, y, z) \) changes from \( (1, 2, 3) \) to \( (0.99, 2.01, 3.01) \), we will use differentials. First, we need to compute the partial derivatives of \( f \) with respect to \( x \), \( y \), and \( z \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 6x \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = -z \] \[ \frac{\partial f}{\partial z} = -y \] Now we evaluate these partial derivatives at the point \( (1, 2, 3) \): \[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2, 3) = 6(1) = 6 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2, 3) = -(3) = -3 \] \[ \frac{\partial f}{\partial z}(1, 2, 3) = -(2) = -2 \] The differential approximates the change in \( f \) as follows: \[ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \] Since \( dx = 0.99 - 1 = -0.01 \), \( dy = 2.01 - 2 = 0.01 \), and \( dz = 3.01 - 3 = 0.01 \), we can substitute these values into the equation to find \( df \): \[ df = (6)(-0.01) + (-3)(0.01) + (-2)(0.01) \] \[ df = -0.06 - 0.03 - 0.02 \] \[ df = -0.11 \] Thus, the differential \( df \) approximates the change in \( f \) when \( (x, y, z) \) changes from \( (1, 2, 3) \) to \( (0.99, 2.01, 3.01) \) to be approximately \( -0.11 \).
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