Question - Partial Derivatives of a Logarithmic Function
Solution:
为了求解这个偏微分方程，我们首先需要计算出 $$\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}$$ 和 $$\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}$$。给定函数 $$z = x \ln(y)$$，我们首先对 $$x$$ 和 $$y$$ 进行偏微分。第一步，计算 $$z$$ 对 $$x$$ 的一阶偏导数：\[\frac{\partial z}{\partial x} = \ln(y) + x \cdot \frac{1}{y} \cdot 0 = \ln(y)\]第二步，计算 $$z$$ 对 $$y$$ 的一阶偏导数：\[\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{y}\]第三步，求第一步结果对 $$x$$ 的二阶偏导数：\[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0\]第四步，求第二步结果对 $$y$$ 的二阶偏导数：\[\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -x \cdot \frac{1}{y^2}\]第五步，求第二步结果对 $$x$$ 的混合二阶偏导数：\[\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x \cdot \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y}\]第六步，计算对 $$x$$ 的二阶偏导数和 $$y$$ 的一阶偏导数的混合三阶偏导数：\[\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \right) = \frac{\partial}{\partial y}(0) = 0\]第七步，计算对 $$x$$ 的一阶偏导数和 $$y$$ 的二阶偏导数的混合三阶偏导数：\[\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( -x \cdot \frac{1}{y^2} \right) = -\frac{1}{y^2}\]所以，我们得到：\[\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = 0\]\[\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = -\frac{1}{y^2}\]我们现在可以将两个结果代入方程计算最终的答案：\[\frac{2024}{0} - \frac{0}{-\frac{1}{y^2}} = \infty\]但这个除法没有定义，因为除数是零。因此，给出的方程没有数学意义。
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com