Question - Calculating Differentials for a Given Function

Solution:

La pregunta está pidiendo calcular el diferencial $$ dy $$ y el diferencial $$ d_{y} $$ para la función $$ f(x)=e^{2ln(x^{2} + 1)} \sin{(x^{2} - 2y)} $$ dado que $$ \Delta x = 0,02 $$. Para encontrar $$ dy $$, necesitamos calcular la derivada parcial de $$ f $$ con respecto a $$ x $$ y luego usarla para multiplicarla por el cambio en $$ x $$, que es $$ \Delta x $$. Para encontrar $$ df $$, necesitamos calcular el gradiente de $$ f $$, es decir, necesitamos encontrar tanto la derivada parcial con respecto a $$ x $$ como la derivada parcial con respecto a $$ y $$, y después usarlas para multiplicar por los diferenciales correspondientes $$ dx $$ y $$ dy $$.Voy a proceder a calcular $$ \frac{\partial f}{\partial x} $$ y $$ \frac{\partial f}{\partial y} $$.Primero, calculamos la derivada parcial de $$ f $$ con respecto a $$ x $$:\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{2ln(x^{2} + 1)} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \]Para esto, primero notamos que $$ e^{2ln(x^{2} + 1)} = (x^{2} + 1)^{2} $$, simplificando el cálculo.\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^{2} + 1)^{2} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \]Usamos la regla de la cadena y la regla del producto para esta derivada:\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2(x^{2} + 1) \cdot 2x \sin{(x^{2} - 2y)} + (x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \cdot 2x \]\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \]Ahora calculamos la derivada parcial de $$ f $$ con respecto a $$ y $$:\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (x^{2} + 1)^{2} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \]Necesitamos usar la regla de la cadena para esta derivada:\[ \frac{\partial f}{\partial y} = -2(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \]Con estas derivadas encontradas, ahora podemos calcular $$ dy $$ y $$ df $$:Para $$ dy $$, usando $$ \Delta x $$ en lugar $$ dx $$, ya que no se proporciona un valor para $$ dy $$, tendríamos algo así:\[ dy = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \Delta x \]\[ dy = \left( 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \right) \cdot 0,02 \]Para $$ df $$ (también notado como $$ d_{y} $$ en la pregunta, pero esto parece ser un error tipográfico, ya que $$ d_{y} $$ normalmente representaría una derivada parcial con respecto a $$ y $$, no un diferencial completo), se calcularía de la siguiente manera:\[ df = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot dx + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot dy \]\[ df = \left( 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \right) \cdot dx - 2(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \cdot dy \]Sin valores específicos para $$ x $$, $$ y $$, $$ dx $$, y $$ dy $$ (excepto $$ \Delta x $$), no podemos dar un valor numérico a $$ dy $$ y $$ df $$. Debes reemplazar $$ dx $$ con $$ \Delta x $$ y usar los valores de $$ x $$ y $$ y $$ dados en el problema para encontrar los valores numéricos de $$ dy $$ y $$ df $$.

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