Question - Analyzing Methods to Find Exact Differential Equations

1. Verificamos si la ecuación es exacta tal y como está. Para ello calculamos \( \frac{\partial M}{\partial y} \) y \( \frac{\partial N}{\partial x} \).

\( M(x, y) = xe^{xy} + 2xy \)

\( N(x, y) = \frac{1}{x} \)

\( \frac{\partial M}{\partial y} = xe^{xy} \cdot x + 2x \)

\( \frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{1}{x^2} \)

2. Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación no es exacta.

3. Buscamos un factor integrante que dependa solo de x o solo de y, tal que convierta la ecuación en exacta.

Para un factor integrante \( \mu(x) \), la condición para que sea exacta es: \( \frac{1}{N}\left( \frac{\partial (M\mu)}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) = \frac{d\mu}{dx} \)

Resolvemos para encontrar \( \mu(x) \) que satisface esta condición.

1. Similarmente, verificamos si la ecuación es exacta como está.

\( M(x, y) = x^{-1/2}y^{1/2} + \frac{x}{x^2 + y^2} \)

\( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{2}x^{-1/2}y^{-1/2} - \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \)

Como no se proporciona \( N(x, y) \), no podemos proceder sin esa información.

2. Si \( N(x, y) \) ha sido proporcionado, calcularíamos \( \frac{\partial N}{\partial x} \) y verificaríamos si \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \).

3. Si la ecuación no es exacta, buscaríamos un factor integrante adecuado de la misma manera que en la parte \( a \).