Question - Partial Derivatives of ln(xy)
Solution:
给定函数 $$ z = \ln(xy) $$，我们要计算 $$ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} $$ 和 $$ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} $$。首先，找到第一次偏导数：\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x} \]然后，找到第二次偏导数关于 $$ x $$：\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \]接下来，对 $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$$ 关于 $$ y $$ 偏导：\[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 0 \]因为 $$-\frac{1}{x^2}$$ 是仅关于 $$ x $$ 的函数，并不依赖于 $$ y $$，所以它的关于 $$ y $$ 的偏导数为 0。接下来找 $$ z $$ 关于 $$ y $$ 的第一次偏导数：\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y} \]然后我们计算关于 $$ y $$ 的第二次偏导数：\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y^2} \]现在，我们要针对 $$ x $$ 偏导这个结果：\[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{1}{y^2}\right) = 0 \]同样的，因为 $$-\frac{1}{y^2}$$ 仅是 $$ y $$ 的函数，和 $$ x $$ 无关，所以它的关于 $$ x $$ 的偏导数为 0。所以最后，我们得到的结果是：\[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = 0 \]\[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = 0 \]
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