Example Question - number divisibility
Here are examples of questions we've helped users solve.
Number Divisibility in Hexadecimal System
Die Aufgabe auf dem Bild lautet: Übung 12.6: Rufen Sie sich die Teilbarkeitsregeln im Zehnersystem in Erinnerung. Für welche Zahlen gilt die Endzifferregel im Hexadezimalsystem? Für welche Zahlen gilt die Endzifferregel allgemein im b-adischen System? Die Endzifferregel im Hexadezimalsystem besagt, dass eine Zahl genau dann durch 2 teilbar ist, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist. Im Hexadezimalsystem sind die Ziffern, die durch 2 teilbar sind: 0, 2, 4, 6, 8, A, C, E. Daher muss die letzte Ziffer einer durch 2 teilbaren Zahl im Hexadezimalsystem eine dieser Ziffern sein. Die Endzifferregel kann auf das b-adische System erweitert werden, wobei die Teilbarkeit einer Zahl durch eine Zahl n davon abhängt, ob ihre letzte Ziffer durch n teilbar ist. Im b-adischen System muss n ein Teiler von b sein, damit die Endzifferregel anwendbar ist. Ist die letzte Ziffer durch n teilbar, dann ist auch die gesamte Zahl durch n teilbar. Übung 12.7: Wann ist eine Zahl im Hexadezimalsystem durch 2, 4, 8, 3, 5, F oder 6 teilbar? Für die Teilbarkeit einer Zahl im Hexadezimalsystem durch 2, 4 oder 8 können ähnliche Regeln wie im Dezimalsystem angewandt werden: - Teilbar durch 2: Die letzte Ziffer ist 0, 2, 4, 6, 8, A, C, oder E. - Teilbar durch 4: Die letzten zwei Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl. - Teilbar durch 8: Die letzten drei Ziffern bilden eine durch 8 teilbare Zahl. Für die Teilbarkeit durch 3, 5, F, oder 6 gibt es im Hexadezimalsystem keine so einfachen Regeln wie die Endzifferregel. Hier müssen wir auf andere Eigenschaften oder Umrechnungen in das Dezimalsystem zurückgreifen, um zu prüfen, ob eine Zahl durch diese Zahlen teilbar ist.
Number Divisibility and Prime Factors Exercise
Natürlich, ich helfe Ihnen gerne beim Lösen der Aufgaben auf dem Bild. **Übung 9.1:** a) Wenn eine Zahl n drei verschiedene Primzahlen p, q und r enthält, bedeutet dies, dass n = p * q * r ist. Jede Primzahl stellt selbst einen Teiler dar, und jede Kombination von Produkten dieser Primzahlen ist auch ein Teiler von n. Das heißt, es gibt die Teiler 1, p, q, r, pq, pr, qr, und pqr. Das sind insgesamt mindestens 8 Teiler. b) Wenn eine Zahl n nur durch eine Primzahl p teilbar ist, dann bedeutet das, dass n eine Potenz von p ist, also n = p^k für ein gewisses k. Diese Zahl hat dann die Teiler 1, p, p^2, bis hin zu p^k. Wenn sie nur durch eine einzige Primzahl teilbar ist, hat sie daher genau k + 1 Teiler. c) Wenn n eine 7-er Potenz ist, dann kann n als n = 7^k geschrieben werden, wo k eine positive ganze Zahl ist. Die Teiler wären dann 1, 7, 7^2, bis hin zu 7^k, entsprechend k + 1 Teiler. Da 7 eine Primzahl ist, fällt dieses Beispiel unter den Fall oben und beweist diese Aussage. **Übung 9.2:** Wir suchen eine Zahl, die die Zahlen 6, 12, 30 und 45 als Teiler hat. Da 6 = 2 * 3, 12 = 2^2 * 3, 30 = 2 * 3 * 5 und 45 = 3^2 * 5, brauchen wir eine Zahl, die mindestens die Primfaktoren 2^2, 3^2 und 5 hat, um sicherzustellen, dass sie durch 6, 12, 30 und 45 teilbar ist. Die kleinste Zahl, die alle diese Bedingungen erfüllt, ist also 2^2 * 3^2 * 5 = 4 * 9 * 5 = 180. Die Zahl 180 hat 6, 12, 30 und 45 als Teiler.
Properties of Numbers and Teilers
Die Übung 7.2 bittet uns, Zahlen mit besonderen Teilbarkeitseigenschaften zu finden: a) Zahlen, die nur ungerade Zahlen als Teiler haben. b) Zahlen, die (fast) nur gerade Teiler haben. (Was könnte hier „fast“ heißen?) c) Zahlen, die genau so viele gerade wie ungerade Teiler haben. Lassen Sie uns diese Teilaufgaben einzeln betrachten: a) Zahlen, die nur ungerade Zahlen als Teiler haben, müssen selbst ungerade sein. Darüber hinaus dürfen sie keine Potenz von 2 als Teiler enthalten, was bedeutet, dass sie keine geraden Zahlen als Teiler haben können. Das ist nur für Potenzen von ungeraden Primzahlen möglich oder für Produkte solcher Potenzen. Ein einfaches Beispiel ist die Zahl 9, die Folgendes als Teiler hat: 1, 3, und 9. All diese Teiler sind ungerade. b) Zahlen, die (fast) nur gerade Teiler haben, hätten die Eigenschaft, dass fast alle ihre Teiler selbst durch 2 teilbar sind. Das „fast“ kann darauf hinweisen, dass mindestens ein Teiler ungerade sein muss (da jede Zahl mindestens durch 1 und sich selbst teilbar ist). Ein einfaches Beispiel hier könnte eine Potenz von 2 sein, z.B. die Zahl 8. Die Teiler von 8 sind 1, 2, 4, und 8. Bis auf die 1 sind alle Teiler gerade. Hier bedeutet „fast“, dass alle außer der 1 gerade sind. c) Eine Zahl, die genau so viele gerade wie ungerade Teiler hat, ist schon schwieriger zu finden, da die meisten Zahlen eine ungleiche Verteilung von geraden und ungeraden Teilern aufweisen. Eine solche Zahl könnte ein Quadrat einer Primzahl sein, da jede Potenz von 2 (gerader Teiler) einem ungeraden Teiler entsprechen würde, der das Zweifache einer ungeraden Zahl ist. Als Beispiel wäre hier die Zahl 36 geeignet, die Teiler wie folgt aufweist: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, und 36. Davon sind fünf Teiler ungerade (1, 3, 9, und 18) und die restlichen vier Teiler gerade. Bei der Suche nach solchen Zahlen und dem Aufstellen von Hypothesen über ihre Eigenschaften ist es nützlich, eine systematische Herangehensweise wie die Primfaktorzerlegung zu verwenden.
Determining Factors and Divisors of Numbers
Die Aufgabe 3 fordert uns auf, die Teiler der angegebenen Zahlen mithilfe einer Primfaktorzerlegung zu bestimmen. Lassen Sie uns dies für jede Zahl einzeln durchführen: a) Die Zahl 30: Um die Primfaktorzerlegung von 30 zu finden, zerlegen wir die Zahl schrittweise in ihre Primfaktoren. 30 = 2 × 15 15 ist keine Primzahl, also zerlegen wir weiter: 15 = 3 × 5 Jetzt haben wir alle Primfaktoren von 30: 2, 3 und 5. Die Teiler von 30 erhält man durch Kombination dieser Primfaktoren: 1, 2, 3, 5, 6 (2×3), 10 (2×5), 15 (3×5), 30 (2×3×5). b) Die Zahl 54: Für die Primfaktorzerlegung von 54 gehen wir genauso vor: 54 = 2 × 27 27 ist keine Primzahl, also zerlegen wir weiter: 27 = 3 × 9 9 ist ebenfalls keine Primzahl, also zerlegen wir noch einmal: 9 = 3 × 3 Die Primfaktoren von 54 sind also 2, 3, 3 und 3 (oder 2 und 3^3). Die Teiler von 54 können wir nun wie folgt bestimmen: 1, 2, 3, 6 (2×3), 9 (3×3), 18 (2×3×3), 27 (3×3×3) und 54 (2×3×3×3). c) Die Zahl 21: Die Primfaktorzerlegung von 21 sieht so aus: 21 = 3 × 7 Die Primfaktoren sind 3 und 7. Daraus resultieren die Teiler: 1, 3, 7 und 21 (3×7). Bitte beachten Sie, dass die Zahl 1 als Teiler jeder Zahl angesehen wird, und auch die Zahl selbst ist immer ein Teiler von sich selbst.
Factors and Divisors Determination
Die Frage auf dem Bild lautet: "Bestimmen Sie die Teiler folgender Zahlen mithilfe einer Primfaktorzerlegung." Hier ist die Primfaktorzerlegung und die Bestimmung der Teiler für jede der gegebenen Zahlen: a. 30 - Primfaktorzerlegung: \(30 = 2 \times 3 \times 5\) - Teiler von 30: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\) b. 54 - Primfaktorzerlegung: \(54 = 2 \times 3^3\) - Teiler von 54: \(1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54\) c. 21 - Primfaktorzerlegung: \(21 = 3 \times 7\) - Teiler von 21: \(1, 3, 7, 21\) Die Aufgabe 4 auf dem Bild, die das Zeichnen von Hasse-Diagrammen verlangt, ist eine Anfrage für eine graphische Darstellung, die sich auf die Teilbarkeit von Zahlen bezieht. Da dies visuelle Darstellungen benötigt, wäre es am besten, diese Diagramme mit Papier und Stift zu zeichnen.
Number Divisibility and Factors
Diese Aufgabe bezieht sich auf die Definition von Teilern einer Zahl. Ein Teiler ist eine Zahl, mit der man eine andere Zahl ohne Rest dividieren kann. a. Ist 4 ein Teiler von 120? Ja, 120 geteilt durch 4 ergibt 30, ohne Rest, also ist 4 ein Teiler von 120. b. Ist 9 ein Teiler von 16? Nein, 16 geteilt durch 9 ergibt 1 mit einem Rest von 7, also ist 9 kein Teiler von 16. c. Ist 1 ein Teiler von 5? Ja, jede Zahl ist durch 1 teilbar, also ist 1 ein Teiler von 5. d. Ist 5 ein Teiler von 1? Ja, 1 geteilt durch 5 ergibt 0,2 ohne Rest, also ist 5 ein Teiler von 1. In der Zahlentheorie wird jedoch in der Regel von ganzzahligen Teilern ausgegangen. In diesem Fall wäre 5 kein Teiler von 1, da 1 kleiner ist als 5. e. Ist 10 ein Teiler von 10? Ja, 10 geteilt durch 10 ergibt genau 1, ohne Rest, also ist 10 ein Teiler von 10. f. Ist 10 ein Teiler von 7? Nein, 7 geteilt durch 10 ergibt kein ganzes Ergebnis, also ist 10 kein Teiler von 7. g. Ist 7 ein Teiler von 0? Ja, 0 geteilt durch irgendeine Zahl (außer 0) ergibt immer 0, ohne Rest, also ist 7 ein Teiler von 0. h. Ist 0 ein Teiler von 0? Dies ist eine trickreiche Frage, da man nicht durch 0 teilen kann. Die Division durch 0 ist nicht definiert, also kann man nicht sagen, dass 0 ein Teiler von irgendetwas ist. i. Ist 8,5 ein Teiler von 17? Nein, 17 geteilt durch 8,5 ergibt 2, ohne Rest, aber hier sind nur ganze Zahlen als Teiler betrachtet. Da 8,5 keine ganze Zahl ist, würde man in diesem Kontext sagen, dass es kein Teiler ist. In einem breiteren mathematischen Sinn, wo auch Dezimalzahlen als Teiler betrachtet werden können, wäre 8,5 ein Teiler von 17.
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