Solution:
Die Übung 7.2 bittet uns, Zahlen mit besonderen Teilbarkeitseigenschaften zu finden:a) Zahlen, die nur ungerade Zahlen als Teiler haben.b) Zahlen, die (fast) nur gerade Teiler haben. (Was könnte hier „fast“ heißen?)c) Zahlen, die genau so viele gerade wie ungerade Teiler haben.Lassen Sie uns diese Teilaufgaben einzeln betrachten:a) Zahlen, die nur ungerade Zahlen als Teiler haben, müssen selbst ungerade sein. Darüber hinaus dürfen sie keine Potenz von 2 als Teiler enthalten, was bedeutet, dass sie keine geraden Zahlen als Teiler haben können. Das ist nur für Potenzen von ungeraden Primzahlen möglich oder für Produkte solcher Potenzen. Ein einfaches Beispiel ist die Zahl 9, die Folgendes als Teiler hat: 1, 3, und 9. All diese Teiler sind ungerade.b) Zahlen, die (fast) nur gerade Teiler haben, hätten die Eigenschaft, dass fast alle ihre Teiler selbst durch 2 teilbar sind. Das „fast“ kann darauf hinweisen, dass mindestens ein Teiler ungerade sein muss (da jede Zahl mindestens durch 1 und sich selbst teilbar ist). Ein einfaches Beispiel hier könnte eine Potenz von 2 sein, z.B. die Zahl 8. Die Teiler von 8 sind 1, 2, 4, und 8. Bis auf die 1 sind alle Teiler gerade. Hier bedeutet „fast“, dass alle außer der 1 gerade sind.c) Eine Zahl, die genau so viele gerade wie ungerade Teiler hat, ist schon schwieriger zu finden, da die meisten Zahlen eine ungleiche Verteilung von geraden und ungeraden Teilern aufweisen. Eine solche Zahl könnte ein Quadrat einer Primzahl sein, da jede Potenz von 2 (gerader Teiler) einem ungeraden Teiler entsprechen würde, der das Zweifache einer ungeraden Zahl ist. Als Beispiel wäre hier die Zahl 36 geeignet, die Teiler wie folgt aufweist: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, und 36. Davon sind fünf Teiler ungerade (1, 3, 9, und 18) und die restlichen vier Teiler gerade.Bei der Suche nach solchen Zahlen und dem Aufstellen von Hypothesen über ihre Eigenschaften ist es nützlich, eine systematische Herangehensweise wie die Primfaktorzerlegung zu verwenden.