Example Question - maclaurin series
Here are examples of questions we've helped users solve.
Maclaurin Series and Convergence Radius Calculation
为了确定函数 \(\frac{2x}{1+x^2}\) 的麦克劳林级数（Maclaurin series）的收敛半径，我们可以应用比值测试（ratio test）。 首先，让我们找一个这个函数的麦克劳林级数的表达式。这个函数是\( \frac{d}{dx}(\arctan x)\) 的常数倍，其麦克劳林级数可通过对\(\arctan x\) 的麦克劳林级数求导得到。 \(\arctan x\) 的麦克劳林级数为: \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \] 因此，函数 \(\frac{2x}{1+x^2}\) 的麦克劳林级数将是： \[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \] 现在乘以2得到： \[ 2 \left( 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \right) = 2 - 2x^2 + 2x^4 - 2x^6 + \cdots \] 接着我们应用比值测试，假设 \(a_n\) 为系数，即 \(a_n = (-1)^n \cdot 2x^{2n}\)，那么测试的公式为： \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2x^{2(n+1)}}{(-1)^n \cdot 2x^{2n}} \right| \] 化简得： \[ \lim_{n \to \infty} |x^2| = x^2 \] 收敛半径 \(R\) 满足： \[ R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |} = \frac{1}{x^2} \] 要得到一个具体的收敛半径，我们要让 \(x^2 < 1\) ，也就是 \(|x| < 1\)。 因此，收敛半径 \(R = 1\)。 选项 (B) \(R = 1\) 是正确的。
Convergence Radius of Maclaurin Series
题目要求我们求解函数 \( \frac{1}{1+x^2} \) 的麦克劳林级数的收敛半径。 麦克劳林级数是泰勒级数在 \( x=0 \) 处的特殊形式。求解一个函数的泰勒级数的收敛半径通常使用比值检验或根检验。 函数 \( \frac{1}{1+x^2} \) 可以看作是 \( \frac{1}{1-u} \) 形式的几何级数的泰勒展开式，其中 \( u = -x^2 \)。对于几何级数 \( \sum u^n \)，当 \( |u| < 1 \) 时，级数收敛。 根据这个条件，为了使原级数收敛，我们有： \[ |u| = |x^2| < 1 \] 因此： \[ |x| < 1 \] 这意味着原级数的收敛半径为 1。这是因为当 \( x \) 的绝对值小于 1 时，级数收敛；当 \( x \) 的绝对值大于或等于 1 时，级数发散。 所以，根据题目给的选项，答案是 (B) 1。
Maclaurin Series Derivative Calculation
很抱歉，图片中的内容看起来模糊不清，这导致我无法准确辨识图片中的所有文字。然而，根据你的文字描述和图片中可见的内容，我可以猜测这是一个关于Maclaurin级数的问题。 给出函数 \( g(t) = e^{t^3} \) ，我们需要利用 Maclaurin 级数求 \( g^{(21)}(0) \)，即函数 \( g(t) = e^{t^3} \) 在 \( t=0 \) 时的第21阶导数。 Maclaurin 级数展开公式为： \[ g(t) = g(0) + g'(0)t + \frac{g''(0)t^2}{2!} + \frac{g'''(0)t^3}{3!} + \cdots + \frac{g^{(n)}(0)t^n}{n!} + \cdots \] 我们知道 \( e^{t^3} \) 的 Maclaurin 级数是所有项的和 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{3n}}{n!} \) 因为 \(e^x \) 的 Maclaurin 级数是 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)。 在 \( t^3 \) 的情况下，这变为 \( e^{t^3} = 1 + t^3 + \frac{t^6}{2!} + \frac{t^9}{3!} + \frac{t^{12}}{4!} + \cdots \)。 我们寻找 \( t=0 \) 时函数的第21阶导数，相当于找系数 \( t^{21} \) 项的系数，并乘以 \( 21! \) 。 在上述展开中，\( t^{21} \) 的系数必定来自 \( \frac{t^{3n}}{n!} \)，其中 \( 3n = 21 \)，解得 \( n = 7 \)。 所以，\( t^{21} \) 的系数是 \( \frac{1}{7!} \)，并且为了得到 \( g^{(21)}(0) \)，我们需要将这个系数乘以 \( 21! \)。 计算可得： \[ g^{(21)}(0) = \frac{21!}{7!} \] 但是由于我们是在寻找 Maclaurin 级数的系数，并非真正计算导数，因此实际上 \( g^{(21)}(0) \) 就是直接的系数，不需要再乘 \( 21! \)。 所以 \( g^{(21)}(0) = \frac{1}{7!} \)。 选择项 (B) \( \frac{1}{7!} \) 是正确答案。
Derivative of Exponential Function at Zero
题目要求求函数 g(t) = e^(t^2) 在 t = 0 处的第二十一次导数 g^(21)(0)。 我们知道指数函数 e^x 的Maclaurin级数展开式是 x 的全幂级数： e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ... 由此，我们可以推导出 g(t) = e^(t^2) 的 Maclaurin级数： g(t) = e^(t^2) = 1 + t^2 + t^4/2! + t^6/3! + ... + t^(2n)/n! + ... 接下来，为了找到 g(t) 在 t = 0 处的第二十一次导数，我们要找到级数中 t^(21) 对应的项，并计算系数。 在上述级数中，如果我们要找第二十一次导数，我们需要找到 t^21 这一项。然而在级数中只有偶数次幂，这意味着实际上并不存在 t^21 这一项，因此 g(t) 在 t = 0 处的第二十一次导数为 0。 所以，答案是 (B) 0。
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