Question - Derivative of Exponential Function at Zero
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Solution:
题目要求求函数 g(t) = e^(t^2) 在 t = 0 处的第二十一次导数 g^(21)(0)。我们知道指数函数 e^x 的Maclaurin级数展开式是 x 的全幂级数：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ...由此，我们可以推导出 g(t) = e^(t^2) 的 Maclaurin级数：g(t) = e^(t^2) = 1 + t^2 + t^4/2! + t^6/3! + ... + t^(2n)/n! + ...接下来，为了找到 g(t) 在 t = 0 处的第二十一次导数，我们要找到级数中 t^(21) 对应的项，并计算系数。在上述级数中，如果我们要找第二十一次导数，我们需要找到 t^21 这一项。然而在级数中只有偶数次幂，这意味着实际上并不存在 t^21 这一项，因此 g(t) 在 t = 0 处的第二十一次导数为 0。所以，答案是 (B) 0。
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