Question - Maclaurin Series Derivative Calculation
Solution:
很抱歉，图片中的内容看起来模糊不清，这导致我无法准确辨识图片中的所有文字。然而，根据你的文字描述和图片中可见的内容，我可以猜测这是一个关于Maclaurin级数的问题。给出函数 $$ g(t) = e^{t^3} $$ ，我们需要利用 Maclaurin 级数求 $$ g^{(21)}(0) $$，即函数 $$ g(t) = e^{t^3} $$ 在 $$ t=0 $$ 时的第21阶导数。Maclaurin 级数展开公式为：\[ g(t) = g(0) + g'(0)t + \frac{g''(0)t^2}{2!} + \frac{g'''(0)t^3}{3!} + \cdots + \frac{g^{(n)}(0)t^n}{n!} + \cdots \]我们知道 $$ e^{t^3} $$ 的 Maclaurin 级数是所有项的和 $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{3n}}{n!} $$ 因为 $$e^x $$ 的 Maclaurin 级数是 $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$。在 $$ t^3 $$ 的情况下，这变为 $$ e^{t^3} = 1 + t^3 + \frac{t^6}{2!} + \frac{t^9}{3!} + \frac{t^{12}}{4!} + \cdots $$。我们寻找 $$ t=0 $$ 时函数的第21阶导数，相当于找系数 $$ t^{21} $$ 项的系数，并乘以 $$ 21! $$ 。在上述展开中，$$ t^{21} $$ 的系数必定来自 $$ \frac{t^{3n}}{n!} $$，其中 $$ 3n = 21 $$，解得 $$ n = 7 $$。所以，$$ t^{21} $$ 的系数是 $$ \frac{1}{7!} $$，并且为了得到 $$ g^{(21)}(0) $$，我们需要将这个系数乘以 $$ 21! $$。计算可得：\[ g^{(21)}(0) = \frac{21!}{7!} \]但是由于我们是在寻找 Maclaurin 级数的系数，并非真正计算导数，因此实际上 $$ g^{(21)}(0) $$ 就是直接的系数，不需要再乘 $$ 21! $$。所以 $$ g^{(21)}(0) = \frac{1}{7!} $$。选择项 (B) $$ \frac{1}{7!} $$ 是正确答案。
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